◆◆ 수학적 사고를 위한 준비 2001-03-02 08:15
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복잡하게 얽혀 있는 문제를 푸는 단순한 방법을 찾기 위해 우리는 논리적 사고,수학적 사고를 합니다.
그리고 때로는 학자들이 찾아낸 단순한 방법에 그냥 ‘대입’ 만 하기도 하는데 그것을 때때로 ‘공식’에 적용시킨다 라기도 합니다.
가령 곱셈이란 덧셈의 반복행위에 대한 공식입니다.
3x3= 3+3+3 에서 3x3 은 3+3+3 이란 이해에서 나온 인공적인 편리한 해결 방식, 일종의 공식입니다.
요즘 유치원 아이들이 구구단을 외운다는 말을 듣고 깜짝 놀란적이 있습니다.
3+3+3 을 쉽게 하는 방법으로 3x3 을 이해하고 구구단을 외워야 하는데,
만일 자연적인 상태의 3+3+3 조차도 이해 하지 못하는 상태에서 구구단 을 외우게 하고 있다면 좋지 않다는 일이라는 생각이 듭니다.
왜냐하면 그렇게 무조건 구구단을 외우고 있다면 구구단이 나오게 된 직관력을 얻어내는 것은 어쩌면 영원히 불가능해질 수도 있다는 생각 때문입니다.
물론 당장은 드러나지 않을 수도 있겠지만 그런 방식으로 계속적으로 수학을 배우게 된 아이는 미분, 적분만 나와도 전혀 수학에 대해 즐거움을 얻지 못하게 됩니다.
저는 우리가 수학에 대해 재미없을 수 밖에 없었던 이유가 무조건적인 공식의 암기에 있었다고 생각합니다.
이런 의미에서 같은 무엇을 찾아내는 것, 일정한 패턴을 찾아내는 능력,공식을 이해할 수 있는 직관력이 키워지는 교육이 어쩌면 수학 교육에 있어 제일 중요한 것이 아닌가 하는 생각을 하고 있습니다.
유아수학교육의 목적이 “수학적 문제 해결 능력" 의 계발을 목적으로 삼는다면 더 그러해야 한다고 생각합니다.
그렇다면 어떻게 그런 직관력을 키워줄 수 있는가?
이 질문은 세자리 숫자를 넘어 네자리 숫자를 자꾸만 궁금해 하고 있는, 캘린더나 두꺼운 책의 쪽수 읽는 것을 너무도 좋아하는 저희 아이를 보며 저 또한 늘 생각하는 고민거리입니다.

첫째, 다양한 단위에 대해 생각해 보았습니다.

수학적 해결 방식의 첫번째는 분류가 있습니다. 관계가 있는 것을 짝을 짓거나 어떤 공통된 성격에 의해서 분류를 하는 일입니다.
그렇다면 어떤 기준에 의해, 어떤 관점에 의해 분류를 하느냐가 문제가 됩니다.
왜냐하면 그 관점에 의해 분류된 결과가 다양하게 나올 수 있기 때문입니다.
어머님들이 블록을 가지고 분류놀이의 기준으로 사용할 색깔, 형태도 그 중 하나입니다.
그러나 조금 더 생각해 보면 수학적 단위로 이야기될 수 있는 것들로 무게(kg), 부피(cc), 소리(db), 길이(m), 속력(m/sec) , 시간(min) , 면적(m3)등이 있습니다.
저는 이런 다양한 단위에 노출시켜주는 것이 어떠한 문제를 추상(어떤 사물들에서 공통적인 성격을 뽑아내는 힘) 하는 능력에 대단히 중요한 힘이 된다고 생각합니다.
그리고 그 관점에 충분히 경험을 해 보아 자연스런 통찰력이 생길 수 있도록 충분한 시간을 주어야 한다고도 생각합니다.
가령 책을 들어보고 충분히 무겁다, 가볍다 , 더 무겁다, 덜 무겁다를 알게 되고, 저울에 달아보는 과정을 같이 경험하고,수를 이해하고 있다면 저울에 나타난 수치를 비교해보고 그 수치의 의미를 알게 해 줄 작정입니다.
오디오의 볼륨을 1로 했을 때와 5로 했을 때 들려지는 크기의 차이를 말로 표현해보고 그 표현을 볼륨 1과 5라고 나중에는 이야기해주어도 좋을 것입니다.
그래서 아이와 함께 가지고 놀 수 있는 장난감으로는 저울이 될 수도 있고 줄자가 될 수도 있고 나의 손으로 만드는 한 뼘도 될 수 있으며 작은 모래 시계, 500cc 우유와 1000cc 우유도 될 수 있을 것 같습니다.

둘째, 차원을 높이는 교육입니다.

점은 0차원, 선은 1차원,면은 2차원, 공간은 3차원입니다.
수학동화, 수학 학습지를 통하여 수학을 경험 시켜 줄때 가장 빠지기 쉬운 부분이 삼차원에 대한 이해입니다.
책에서 만나는 점선으로 만들어진 cylinder(원기둥)이나, sphere(구),cone(원뿔)보다는 실제로 무우나 당근 ,사과 하나를 가지고 질리도록 여기저기 잘라보는 놀이가 훨씬 나을 것 같다는 생각입니다.
2차원으로만 만나는 면으로 된 circle, square, triangle 에서 조금 더 나가야 할 것 같습니다.
실제로 아이들이 가지고 노는 블록만해도 모두가 입체 도형입니다.
그 중 정육면체인 블록을 보며 한면 만을 바라 보고 “What is this?” “ It is a square” 라고 외치는 것이 어느날 잘못된 것이라는 생각이 들었습니다. 그것은 “ It is a cube” 가 오히려 정답입니다.
책으로만 아이를 가르치다 보면, 어머니마저도 2차원적 사고에 머물러 있으면, 아이는 차원이 높아지는 것에 대해 쉽게 적응을 하지 못합니다.
2차원만큼 3차원 인 공간에 대하여도 동일한 인식을 할 수 있도록 실제적으로 많이 보여주고 잘라보고 분해해보고 다시 붙여보도록 도와주어야 할 것 같습니다.

셋째, 좀 더 구체적인 분리를 보여 줍시다.

분류는 했는데, 각각을 분리하는 과정에서 분명 다르다는 것은 인식을 하겠는데, 더 이상의 분리는 하지 못하게 되는 못하게 되는 경우가 있습니다.
가령 물고기와 동물을 분류해 놓았습니다. 그러나 물고기는 정말로 다양하므로 물고기로부터 또 다른 분류를 이끌어내려면 각각의 특성을 알아야 하고 그 첫 단계는 서로 다른 각각의 이름을 알고 있어야 합니다.
일종의 “Terminology(용어)” 의 문제가 될 수도 있겠습니다.
각각의 특성이야 서서히 아이가 자라면서 이해해 나간다 해도 이름은 어린 아이에게도 가르쳐 줄 수 있습니다.
가령 Mackerel( 고등어) 와 Spanish Mackerel(삼치) 를 별 구별없이 Fish(물고기) 라고 가르친다면 아이는 그 차이를 눈으로 보면서도 그 차이를 별로 마음으로 문제 삼지 않으려는 게으름을 배울지도 모르겠습니다.
차의 경우 정말 다양한 차가 있습니다.
지난 겨울 눈이 많이 와서 거리 곳곳에 눈 치우는 차들이 많이 보였습니다.
처음 보는 그 차 앞에서 아이가 “ What is that?” 이라고 물었습니다.
아이는 car 라는 것을 알고 있으니 자기가 알고 있는 car 와는 다르다는 분류를 마음속에서 이미 한 셈입니다. 저도 처음엔 잘 몰라서 이렇게 대답해 주었습니다.
"I'm sorry. I don’t know. I will talk to you later about that. 한국말로는 제설차야 ”
그리고 집에 와서 그 차가 “Snowplow” 라는 것을 가르쳐 주고 그림을 보여주었습니다.

넷째, 수를 이해하는데도 순서가 있습니다.

첫번째에서 말씀 드린 많은 수학적 단위 마저도 사실 수치화 되어 사람들에게 인식됩니다.
어떻게 보면 드러나는 결과물이기도 한데 그래서인지 수가 중요한 것은 사실이지만, 지나치게 성급하게 계산과 숫자 읽기에 너무 많은 집중이 되고 있지 않나 의심해 봅니다.
제가 경험한 저희 아이가 수를 이해했던 순서를 보면
1)사과, 배등 인식된 물체를 1 혹은 하나 라고 인식하는 것을 시작으로
2)아이는 인식된 물체들의 집합을 counting 하게 되고
3)마지막에 센 숫자를 그 집합의 갯수라고 인식하게 됩니다.
4)그리고 인식된 물체의 둘 이상의 그룹을 counting 하게 되는 것이 덧셈이 됩니다.
3+2 = (1+1+1) + (1+1) = 5 라는 성격을 이해 하게 되는 셈이지요.
5)또한 숫자의 많고 적음의 양의 개념, 얼마만큼 더 많고 적으냐 라는 이해는 곧 뺄셈의 이해로 갈것임을 예상하고 있습니다.
그리고 입으로 counting 한 수와 숫자의 연결, 그리고 손가락과 발가락을 이용한 또 다른 Counting 도 숫자세기가 어느 정도 익숙해진 아이들이 재미있게 할 수 있는 놀이 같습니다.
굳이 1~5까지 번호를 매긴 것은 숫자에 대한 인식의 단계에 대해 말하고 싶었던 까닭입니다.
늘 숫자만 읽게 되면 덧셈, 뺄셈을 성급히 가르치고싶어 하시는 어머니들에게 그 각각의 단계가 얼마나 소중한지, 급할 필요가 없다는 것을 말하고 싶습니다.
개인적으로 경험해보면 2)에서 3)으로 가는데도 상당히 많은 시간이 걸리고 counting 을 잘해도 또 양적인 개념을 얻기까지는 또 다른 시간이 걸린다는 것을 말씀 드리고 싶습니다.

수학도 예외가 아니어서 요즘은 어딜 가도 교재나 교구에 대한 이야기로 시끄럽습니다.
무슨 교재를 시킬 것인가?에 대한 소문과 분석과 고민이 주를 이룹니다.
그 고민은 물론 진지하지만 , 또 알 필요성도 있지만 때로는 정말 중요한 것은 이것이 아니다라는 생각을 하고 있습니다.
수의학을 전공한 제가 수학에 대해 민망하게 글을 썼습니다.


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