(음수)×(음수)=(양수)인 이유? 2009-03-07 21:57
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[Daniel Kobialka] - The Lark in the Clear Air

 

 

중학과정을 처음대하면서 (음수)×(음수)가 왜 (양수)가 되는지에 대한

의문을 품는 아이들이 있을겁니다.

그러한 의문을 품을수 있는 아이들이야말로

 자기안에 수학을 성장시킬수 있는 가능성을 품은 아이이기도 하지요.

그 이유에 대한 이해는 스탕달이나 파스칼에게도 어려웠다고 합니다.

한번쯤 생각해봅시다.

 

음수끼리 곱하기

[오늘의 과학 2009년 2월 3일] -1x-1=1인 이유는? - 스탕달도 파스칼도 몰랐다  xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" />

원문보기 http://navercast.naver.com/science/math/106

 

서울대 수학과에서 석.박사학위를 받으시고 고등과학원연구원으로 재직중이시며

[재미있는 영재들의 수학퍼즐]과[천재들의 수학노트]를 저술하신 박부성님의 글입니다.

-1x-1=1인 이유에 대해 가장 설득력있는 설명을 하신분인데도 불구하고

그것으로도 부족하다고 여기셨는지

그 글 하단에는 그와 관련해서 박부성님이 지식IN에게 묻는 글과

박부성님이 채택하신 답변이 있으니 답변보기로 들어가셔서 참고바랍니다.

 

 이렇듯 역사적으로 보아도 음수 곱하기 음수가 양수라는 것은

사실 이해하기 쉽지 않은 것입니다.

..................................................................................................................................................

 

다음은 중등교과서에 실린 내용을 바탕으로 정리한 제 생각입니다.

 

 

 

 

 

다음과 같은 상황에서 생각해 봅시다.

 

수직선위에 서서 앞과 뒤로만 움직일수 있는 로봇을 떠올립니다.

로봇이 앞으로 나아간다는 것은 양수쪽으로 가는 것이고

뒤로 간다는 것은 음수쪽으로 나아가는 것으로 생각합니다.

 

만일, 현재 원점0위에 서있는 로봇이1초에 X걸음씩 움직여 Y초일때의 위치를 Z이라고 하면

                                     X × Y = Z

와 같이 표현할 수 있고,

여기서 X의 부호는 로봇이 가는 방향을 결정하고, Y의 부호는 시간이 흐르는 방향을 결정합니다.

다시말하면 X의 부호가 (+)이면 로봇의 걸어가는 방향이 앞쪽,  (-)이면 뒤쪽이 되는것이고

Y의 부호가 (+)이면 Y초후(미래), (-)이면 Y초전(과거)가 되는것입니다.

 

이제 구체적으로 예를 들어서 생각해 봅시다.

① (+2)×(+3)=(+6)

   1초에 2걸음씩 으로 움직이는 로봇이 현재 원점0위에 서 있다고 할때,

   3초에 로봇의 위치는 어디일까요? 수직선 (+6)의 위치에 있다는 것을 알수 있습니다.

② (-2)×(+3)=(+6)

   1초에 2걸음씩 로 움직이는 로봇이 현재 원점0위에 서 있다고 할때,

   3초에 로봇의 위치는 어디일까요? 수직선 (-6)의 위치에 있다는 것을 알수 있습니다.

 

③ (+2)×(-3)=(+6)

   1초에 2걸음씩 으로 움직이는 로봇이 현재 원점0위에 서 있다고 할때,

   3초에 로봇의 위치는 어디였을까요? 수직선 (-6)의 위치에 있었다는 것을 알수 있습니다.

 

④ (-2)×(-3)=(+6)

   1초에 2걸음씩 로 움직이는 로봇이 현재 원점0위에 서 있다고 할때,

   3초에 로봇의 위치는 어디였을까요? 수직선 (+6)의 위치에 있었다는 것을 알수 있습니다.

.............................................................................................................................................

 

다음은 수학사랑에서 스크랩해온 자료입니다.

참고바랍니다.

 

따짐이: 선생님, 음수끼리 곱하면 왜 양수가 되는 거죠?

 

선생님: 왜, 불만이냐?

 

따짐이: 아니오.  하지만 3´4 는 사과가 3개씩 4줄 있으면 12개가 된다는 식으로 이해할 수 있는데

            (-3)´(-4) 는 어떻게 이해해야 할지…

 

선생님: 그러면 4´(-3) 같은 것은 이해가 된단 말인가?

 

따짐이: 그건, 4명한테 3만원씩 빚지고 있으면 전체 12만원 빚지고 있다는 식으로…

 

선생님: 그건 그냥 3´4 아닐까?

 

따짐이: 빚은 음수라고…

 

선생님: 하지만 사과니, 빚이니 하는 것은 다 비유일 뿐이야.  왜 꼭 빚을 음수로 생각해야 하지?

 

따짐이: 하지만, 어쨌든 사과의 개수에다 양수를 곱하면 역시 사과의 개수로 볼 수 있고,

             빚에다가 양수를 곱하면 역시 빚으로 볼 수 있는데, 음수를 곱하면, 그게…

 

선생님: -4명에게 3만원씩 빚진다느니 이렇게 생각하는 것이 말이 안 되기 때문에

             이해가 안 된다는 것인가? 

             다시 말해, 적절한 비유(모델)을 찾기가 어렵다는 것이 문제이지?

 

따짐이: 그렇게 말씀하시니까 별 것 아닌 것처럼 보이기도 하네요.

 

선생님: 별 것 아닌 건 아니야. 

            교과서에서 곱셈을 가르치는 방식에 문제가 있을지도 모른다는 뜻이니까.

 

따짐이: 알겠어요.  곱셈을 꼭 ‘똑같은 것들이 여러 개 있는’ 상황에 비유해서 가르치는 것이

            문제라는 거죠? 그렇게 하면 음수 곱하기 양수까지는 그런대로 설명할 수 있는데,

            음수 곱하기 음수를 가르칠 때는 한계에 부딪친다, 이런…

 

선생님: 그래.  물론 나중에는 직선 위에서의 물체의 운동이라든지 하는 다른 비유(모델)을 사용해서 양수건 음수건, 또 정수이건 아니건 모두 다룰 수 있게 되지.

 

따짐이: 맞아요.  나중에는 결국 수직선 위에서 점이 움직이는 것으로 설명하더군요. 

            그럼… 처음부터 그걸로 하지 왜 이렇게 헷갈리게 해 놓은 거죠?

 

선생님: 물건의 개수에 비유해서 설명하는 것, 재산과 빚에 비유해서 설명하는 것, 또는

             빨강단추, 파랑단추 같은 것으로 설명하는 것, 이런 것 자체는 훌륭한 교수 방법이야.     

             처음부터 수직선이니 속도니 하는 것으로 설명하면 너무 추상적으로 되어 버려서

             이해하는 데 문제가 많을 것이니까. 

             역사적으로 음수의 곱셈이 발전되어 온 과정을 봐도 그렇지.

 

따짐이: 그럼 뭐가 문제죠?

 

선생님: 그런 비유들의 정체를 밝히지 않고 넘어가는 것이 문제라고 생각해.

 

따짐이: 정체?  그것들의 정체가 뭔데요?

 

선생님: 그것들은 자전거타기를 연습하기 위해 자전거에 다는 보조바퀴 같은 것이지.

             음수의 곱셈(연산)을 배우기 위해 잠시 사용하는 수단이야.

 

따짐이: 그런데 그 보조바퀴를 나중까지 떼지 않는다는 말씀?

 

선생님: 바로 그거야! ‘옛날에 사용했던 사과, 빚, 단추 같은 것들은 잊어라. 

            사실 수의 연산이란 그 자체의 의미를 갖는 것이고 실제적인 무엇에 꼭 들어맞지는 않는다.’ 고 언젠가는 말해 주어야 하는데, 그러지 않고 애매하게 넘어간다는 것이지. 

            그러다 보니 학생들은 나중까지 음수를 빚이나 단추 같은 것과 동일시한다거나,

            음수라는 것은 그런 실제 상황들을 설명하기 위한 수단이라고 오해한다거나 하는 일이

            일어난다는 거야.  사실은 그런 실제 상황들이 음수의 연산을 이해하기 위한 수단인데 말이지.

 

따짐이: 좋아요. 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 이유를 꼭 무슨 실제 상황을 가지고 설명할 필요는 없다는 것이죠?  그런 것들을 설명하기 위해 음수가 있는 것도 아니고요.  

            처음에 설명하기 위해 비유를 사용할 수는 있지만, 그것은 곧 떼어버려야 할

            보조바퀴일 뿐이고요. 

            한마디로 음수는 음수일 뿐 빚이나 단추 같은 것과는 별개로 존재하는 것이다.  맞나요?

 

선생님: 정확해.

 

따짐이: 그렇다면 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 진짜 이유는 무엇이죠?

 

선생님: 우선, (-3)´4 는 왜 -12 가 되는 걸까? 

             빚이라든지 하는 비유를 통하지 말고, 수학 안에서 이유를 찾는다면?

 

따짐이: 음… 3´4 와 부호가 반대라는 것을 밝히면 되나요?  그런데, 부호가 반대라는 것은…

 

선생님: 거기가 핵심이야.  부호가 반대라는 것은?  무슨 뜻일까?

 

따짐이: -a 는 a 와 더해서 0 이 되는 수…

 

선생님: 그렇지! 3´4  와 (-3)´4 가 부호가 반대라는 것을 밝히려면

             더해서 0 이 되는 것을 보이면 되는 거지.

 

따짐이: 그렇다면… 

            3´4 + (-3)´4 는, 그렇지 분배법칙에 의해 {3 + (-3)} ´4 인데,

            3과 -3은 부호가 반대니까 더해서 0, 즉 이것은 0 곱하기 4 로 0 이다… 이게 맞나요? 

            식으로 쓰면  3´4 + (-3)´4 = {3 + (-3)} ´4 = 0´4 = 0  이다. 

            다시 말해 3´4  와 (-3)´4 를 더하면 0 이 되므로 이 둘은 부호가 반대다.

            3´4 가 12 이니까 (-3)´4 는 -12 이다.

 

선생님: 바로 그거야.  그럼 이제 (-3)´(-4) = 12 가 되는 이유도 알 수 있겠지?

 

따짐이: (-3)´4 + (-3)´(-4) = 0 인 것만 보이면 되는 거니까, 똑같이 하면 되는군요.

 

선생님: 그래.  수학적 성질은 원래 다른 것들을 동원해서 이해할 필요가 없어. 

             그 자체의 논리로 전개되는 것이니까.

 

따짐이: 그런데 교과서에서는 꼭 실제 상황에 비유해서 설명을 하려고 하더군요.

 

선생님: 그렇지.

             그것은 아까 말했듯이, 일단 어느 정도 이해하게 하기 위한 수단, 보조바퀴라는 것이야. 

             어느 단계에서는 그것을 떼어 버리고, 수학 자체의 논리로 그런 개념이나 성질들이

             성립한다 는 것을 깨닫도록 해야 해. 

             그 자체의 논리로 전개된다는 것이 수학의 가장 본질적인 특성이라고도 할 수 있으니까

             말이야.

 

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오데뜨 2010-11-23 10:36 
잘 담아갑니다.
승우맘 2009-03-29 19:25 

아이랑 함께 봐야겠어요.

ㅎㅎ

심오한 문제, 아이가 이해 할 수 있을까요?

종연 2009-03-16 10:49 

정말 멋진 설명이네요..

저도 이런 의문은 품어보지도 않았는데.. 스스로 수학은 잘한다 생각했으니 영 꽝~~ 이었네요..

 

 

꼬실엄마 2009-03-10 20:14 

우와, 무지하게 멋진 설명이네요. 저도 학교 다닐 때 이런 문제를 고민해 본 적도 없는 것 같네요. ㅎㅎ 꼬실이가 뭔 훗날이라도 꼭 물어봐주어야 이 멋진 설명을 해 줄 수 있을텐데.......

혹시라도 물어보지 않고 그냥 그런가보다하고 외워버리면 어떡하나.... 하하, 별 걱정이 다 드네요.

정말 상쾌하게 제 궁금증이 풀렸습니다. 감사합니다.

찬빈맘 2009-03-08 23:44 

전 학교다닐때 그냥 -곱하기-가 +라니까 그런줄 알았지 생각안해봤거든요.

근데 왜그러냐고 따져 묻길레 수직선 상에서 설명하려다 보니...

그러게 왜? -지? 하게 되더라구요..책주고 읽게하고는...

마리스텔라님 만남김에 여쭤 봤는데 수직선위의 로봇에서 이해가 가네요..

마리스텔라님 정말 감사합니다.

고맙습니다....

마리스텔라 2009-03-09 11:35:08
저도 막상 학교에서 배울때에는 이리 깊이 생각못해봤습니다.
오히려 아이들 가르치는 일을 하면서 생각이 깊어지는 것 같습니다.
덕분에 저도 생각을 정리할수 있었습니다.^^
링링 2009-03-07 23:18 

뒤의 따짐이가 말하는 내용은 주인공 이름이 머리가 아파서 솔직히 대강 봤구요.. ^^;;

 

전 마리스텔라님의 생각을 풀어주신 로버트가 수직선 상에서 움직이는 원리로 보니 정말 그 모호한 개념이 말로 설명이 되네여? ㅎㅎ

 

저같은 사람에게도 아이에게 나중에라도 원리로 설명할 수 있는 자신감을 주시다니..

 

와~~ 신기해라~~ ^^

 

 

sousou 2009-03-13 17:46:52
수학의 교육과정은 그 분야의 발전 과정을 역행한다

수학의 각 분야는 과거 수학자 또는 다른 분야의 학자, 기술자의 필요성과 호기심에서 출발한다.

그렇기에 그 출발점은 극히 구체적이며 현실적이고 실용적이다.

하지만, 연구를 거듭해 감에 따라 학문은 추상화된다.

이렇게 추상화된 개념은 그 분야를 설명하는 도구가 되며,

새로 공부를 시작하는 학생들은 추상적인 개념의 이해를 시작으로 학문을 배우게 된다.

때문에, 전체를 보게 되면 단순한 개념들이 어렵고 힘들게 다가올 수 있으며,

수학적 역사와 배경 그리고 각각의 정리(Theorem)을 외우는데 집착하지 않고,

전체적인 개념을 명확히 하는 것이 중요하다.

사견이지만, 따짐이 선생님의 수학이란 학문에 대한 견해보다 위의 의견이 제게는 더욱 와 닿는 것

같습니다^^


만재아빠 2009-03-07 22:08 


결합법칙,분배법칙,교환법칙 제대로 교육합시다.!!!!
마리스텔라 2009-03-09 11:19:17
결합법칙,분배법칙,교환법칙이 수학의 구조를 확장시키는데 중요한 의미를 갖는 논리인데
아이들이 그러한 의미를 감지하려면 가르치는 사람의 노력과 시간이 필요할것입니다.
저도 정말 그렇구나하고 느낀건 대학 졸업후 아이들을 가르치면서이니까요.
아이들을 가르치기 이전에 제 자신을 이해시키기위한 과정중에 많은 걸을 알아갑니다.