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수학 문제 질문

글쓴이 만재아빠

등록일 2008-06-28 11:28

조회수 4,257

댓글 6

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아이에게 설명하다가 막혀서 그런데 다음 설명이 맞는지 봐 주십시오.

 

1. 다각형 ( N 각형) 의 외각의 합은 360 (도)

2. N각형의 내각의 합은 180 x N - 360 (도)

3. 20 각형, 100각형,10000000각형 등 문제 좌악 주면서 랄랄라 하면서

 

설명하고 잘난척 하고 있는데 무한히 가면 원이나 둥그런 부분이

나올 것 같다는데... 잘 모르면서 잘난 척 계속하면서

 

N-->무한대로 가면 원 혹은 곡면 (특정부분 무한대)이 되는데 그러면 내각의 합은 무한대가 된다.

(사실 잘 모르겠읍니다. )

 

저걸 어떻게 설명하지요 ? 각이 없으면 N 각형 아니니깐 그런 이상한 질문하지마

하고 꼴밤을 한대 날리나....쩝~~~~ 어떤 책에 저런 부분이 나오나요 ? 접선으로 어떻게 해야 하나

하는 생각도 해 보지만.... 영 시원한 설명이 저에게는 불가능하네요.


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이슬구슬맘 2008-06-28 23:29 

'자연, 예술, 과학의 수학적 원형' 이라는 책 추천드립니다.

안 보셨으면... ^^

저는 기술적인 것보다는 자연에서 수학의 원리를 발견하도록 하는 것까지만 돕고 싶은 마음에 관련 서적을 찾고 있는데, 요것이 꽤 마음에 들더군요.
강미선 2008-06-28 21:56 

sousou님께서 잘 설명을 잘해 주셨네요.^^

이런 문제를 다루하면서 자연스럽게 극한에 대해 생각해 보는 것이 만재에게는 좋을 경험이 될 것 같습니다.

 

음...또 이런 설명은 어떨까?? 하고 생각해 보았습니다.

(삼각형의 내각의 합이 180도라는 것을 아이가 알고 있다는 전제하에)

원 안에 내접하는 정삼각형을 그리고 원의 중심과 3개의 꼭지점을 각각 이어서 정삼각형을 3개의 삼각형으로 나눕니다. 작은 세 개의 이등변 삼각형의 내각의 합은 180*3이고 여기서 원의 중심각인 360도를 빼면 처음 정삼각형의 세 내각의 합이 나옵니다.

이번엔 정사각형을 그려서 마찬가지로 원의 중심과 4개의 꼭지점을 각각 이어서 정사각형을 4개의 삼각형으로 나눕니다. 작은 4개의 이등변 삼각형의 내각의 합은 180*4이고 여기서 원의 중심각인 360도를 빼면 정사각형의 네 내각의 합이 나옵니다.  

..이런 식으로 계속하면 다각형의 변이 많아질 수록 원의 중심과 이어서 만든 작은 이등변삼각형들의 크기는 점점 작아지고 그 개수는 점점 더 많아집니다. 

따라서 n이 무한대로 가면 작은 이등변 삼각형의 내각의 합은 무한히 커집니다.(물론 원의 중심각은 항상 360도로 일정하지요. 이때 이등변 삼각형의 각들의 합이 무한히 크기 때문에 여기서 360도를 뺀다고 해도 그리 달라질 것은 없습니다.) 따라서 n이 무한대로 하면 그 내각의 합은 무한히 커집니다.

 

이렇게 설명하면 아이 입장에서 이해하기 더 쉬울런지...에궁.^^;;;      
만재아빠 2008-06-29 09:36:46
이렇게도 설명해 봐야 겠네요.
sousou 2008-06-28 19:11 

어차피 고교과정까지의 극한은 직관에 의존합니다.
무한대로 간다.  0에 한없이 가까워진다는 표현도 수학적으로는 애매합니다. 까다로운 수학자들이 그냥 놔뒀을 리 없습니다. 그래서 대학수학 이상에서는  극한을 입실론 델타법으로 정의하고 이론을 전개해나갑니다.

만재에게 수학젹인 증명을 해주시길 원하시는게 아니시겠죠??
그러면 귀납적으로 보여주시는게 좋겠네요 

삼각형의 내각의 총합은 180도
사각형의      〃            360도
오각형의      〃            540도
            ……
10만각형의 내각의 총합은 17999640도
점점 커지는게 보이지하면서 말이죠.

 

n각형에서 n이 무한히 커지면 n각형은 원에 한없이 가까워집니다.

원이 아니라 원에 한없이 가까워지는 상태가 됩니다. 그런 상태를 원에 수렴한다고 합니다.
∞(무한대)는 무한히 큰 수가 아니라 무한히 커지는 상태입니다.   
n각형에서 n이 무한히 커진다면 n각형의 내각의 총합은 무한히 커집니다.

 

비슷한 예로 0.99999 = 1 인가? 아닌가? 에 대해 알아보면

0.9
0.99
0.999
0.9999
…

와 같이 나가는 수들 (수열) 은 결국 하나의 수, 여기서는 1 에 계속 가까워집니다.
이런 상황을 가리켜 위 수열이 1 에 "수렴한다" 고 하고, 1 을 그 수열의 "극한" 이라고 합니다.


다른 방법으로 다시 말하자면, 위 수열을 수직선 위에 점으로 찍어 나갑니다. 이제 1 이라는 수 주변에 새까맣게 점 찍힌다는 것을 알 수 있습니다.

 

정확히 말해, 1 이라는 점 주변에 아무리 작은 원을 그린다고 하더라도, 그 원 바깥에는 유한개만이 존재합니다.(입실론 델타법)

 

 이런 상황을 가리켜 저 수열은 1에 "수렴한다", 또는 저 수열의 "극한"이 1 이다 라고 하는 것입니다. 


 결국 0.9999… = 1 은 맞는 식이며, 이 식에서 "="는 1과 같다는 것이 아니라 1에 수렴한다는 뜻입니다.
만재아빠 2008-06-29 09:36:29
오호 이렇게 생각해야 겠군요.
버들움 2008-06-28 12:37 

  시간이 나실지 모르겠지만,

 

  EBS 수학 강의...계속 보시면 도움 됩니다...

  권해 드립니다...

 

 


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