쑥쑥몰
> 
멩거스펀지.pdf (742.66KB)
6-가,나/7-나에서 배우는 입체도형의 겉넓이와 부피의 관계가 생활속에서 적용되는 예를 살펴보겠습니다.
1)겉넓이와 부피의 정의는 다음과 같습니다.
겉넓이 또는 표면적: surface area
3차원 도형의 바깥(겉) 넓이를 뜻합니다.
즉, 겉으로 드러난 면의 넓이를 모두 합한 값을 말합니다.
여기서 “겉”이란뜻은 “겉과 안”의 낱말 뜻과는 조금 다르다는 것에 주의해야 합니다.
즉, 안(내부)의 반대되는 뜻이 아니라, 드러나 있는 부분이라는 것에 초점을 맞춰야
아이들이 혼란을 겪지 않습니다. 다시 말해서 공기가 접촉되는 부분을 겉면이라 할수 있습니다.
(단,면끼리 붙여진 모서리틈으로는 공기가 드나들지 못한다는 가정하에)
가령, 찰흙으로 성냥개비굵기의 가느다란 원기둥을 만든 후
가느다란 바늘로 원기둥 내부를 통과한다면,
그 겉넓이는 처음 원기둥 겉넓이에 바늘이 지나간 옆면의 넓이까지 합한 후
바늘 끝부분의 넓이는 뺀 값입니다.
부피 : Volume
도형이 차지하는 공간의 크기를 뜻하며
한 변의 길이가 1인 정육면체를 입체도형 내부에 얼마만큼 채워 넣을 수 있는지를 잽니다.
겉넓이와 부피의 관계
통나무를 여러개로 자르면 처음 통나무와 여러조각의 통나무의 부피는 변함이 없지만
겉넓이는 처음보다 늘어나는 것처럼,
일반적인 물체에서 그의 크기(부피)가 커져야 겉넓이가 커지는 것은 아닙니다.
부피는 그대로인데 겉넓이가 늘어날수도 있고,
부피가 줄어들었는데 겉넓이가 늘어나는 경우가 있습니다.
아래와 같이 닮은 두 입체도형에서 살펴봅시다.
어떤 닮은 물체의 길이가 2배로 커지면 겉넓이는 4배로 커지고, 부피는 8배로 커집니다.
3배 9배 27배
4배 16배 64배
............................................................
위에서와 같이,닮은입체도형의 겉넓이는 닮음비(길이)의 제곱에 비례하고
부피는 닮음비(길이)의 세제곱에 비례하는 것을 알 수 있습니다.
다시말해서 겉넓이와 부피는 비례하지 않습니다.
우리 주변에는 겉넓이와 부피의 불비례로 인해 각기 다양한 환경속에서
그들의 적절한 조화를 이루기 위해 빚어내는 다양한 모습들을 볼수 있습니다.
(2) 인체의 겉넓이는 어떻게 구할까요?
우리 인체의 겉넓이를 아는 것은 중요합니다.
그 예로 의사나 간호사가 화상 환자의 상처 부위를 치료할 때,
그 겉넓이를 알아야 치료 약품의 적절한 양을 결정할 수 있습니다.
또한 아기들은 몸의 겉넓이에 비례하여 체온이 결정되므로 그 넓이를 아는 것은 중요합니다.
그렇다면 몸의 겉넓이를 어떻게 알 수 있을까요?
독일의 예술가 팀 울리흐는 다소 수학적인 방법으로 많은 예술 작품을 만들었습니다.
그중 한 가지가 스스로의 겉넓이를 구한 것입니다.
그는 수천 개의 작은 스티커(1㎠)로 자신의 몸을 완전히 덮었습니다.
그 다음 붙인 스티커를 모두 떼어 그래프용지에 옮겼더니 모두 18,360개의 스티커가 사용되었습니다.
따라서 그는 자신의 몸의 겉넓이는 18,360㎠가 된다고 결론지었습니다.
사람의 겉넓이를 구하는 공식 중에 간단한 방법은
키 높이에 넓적다리 둘레의 길이를 곱해서 얻어진 값에 2배를 하는 것입니다.
또 다른 방법은 손바닥의 넓이를 이용하는 것입니다.
대체적으로 손바닥 넓이의 100여 배가 신체의 표면을 덮게 됩니다.
화상은 아주 위험한데 그 경중은 신체의 얼마나 많은 부분이 화상을 입었느냐에 따라 결정됩니다.
이를 판단하기 위하여 다음과 같은 9의 법칙을 사용합니다.
즉 신체를 11개의 부분으로 나누는데 이 각 부분은 몸의 겉넓이의 대략 9%에 해당합니다.
머리와 목의 넓이, 가슴, 뒷가슴, 배, 배의 뒤 그리고 각각의 팔과 다리의 윗부분,
다리의 아래 부분의 넓이는 몸의 겉넓이의 대략 9%에 해당합니다.
사람의 양팔 길이와 키 높이는 거의 같다고 합니다. 결국 정사각형이 됩니다.
그런데 몸의 겉넓이가 이 정사각형의 넓이의 3/5가 된다고 합니다.
이것들을 이용하여 자신의 몸 전체의 겉넓이를 구하여 보세요.
모든 사람의 결과가 항상 정확하지는 않지만 이런 방법을 통하여
몸의 겉넓이를 어림짐작할 수 있답니다.
(3) 소화와 겉넓이
생활 수준이 향상되면서 우리가 식사를 통해 섭취하는 지방질의 양이 늘어나고 있습니다.
흔히 기름기라고도 불리는 지방질은 다양한 음식을 통해 섭취할 수 있는데,
기름기가 많으면 소화가 잘 안되는 것으로 알려져 있습니다.
그런데, 같은 지방질인데도 마요네즈와 마가린은 비교적 소화가 잘됩니다.
왜 그럴까요 ?
마요네즈는 다른 지방질에 비해 그 알갱이가 아주 작습니다.
같은 양(부피)의 지방인데 알갱이가 작으면 전체 겉넓이가 커지게 됩니다.
위장이 영양분을 소화시킬 때, 음식이 소화액에 접촉되는 면이 넓을수록 소화가 잘됩니다.
그래서 알갱이가 울퉁불퉁하고 잘게 부수어진 음식이 겉넓이가 크기 때문에 소화가 잘 되는 것입니다.
음식은 꼭꼭 씹어 먹어야 소화가 잘 된다는 말이 괜히 나온것이 아닙니다.
건강한 몸과 마음으로 공부를 하려면 밥 먹을 때도, 책 읽을 때도,
꼭꼭 씹어 먹는 것을 잊지 말아야 하겠습니다.
수학 공부를 할 때에도 마찬가지로 공식만 대강 외우는 것이 아니라,
왜 그 내용이 나왔는지 꼭꼭 씹어서 생각해야 잘 이해가 되고,
잘 소화가 되어서 튼튼한 뼈와 살이 될 것입니다.
(4)세포분열과 겉넓이
생명체는 생장(growth)과 생식(reproduction)을 할 수 있습니다.
생장은 생명체의 총량이 증가하는 과정을 의미하며
고등 동식물과 같이 많은 수의 세포로 이루어진 다세포 생물의 경우에는
세포의 분열이라는 독특한 방법에 의해 일어납니다.
세포분열을 하는 이유중 하나가 바로 겉넓이와 부피와 관계가 있습니다.
살아가는데 필요한 물질을 세포막(겉면)을 통해 흡수하여 세포전체로 전달해야 하는데
세포의 크기(부피)가 커지면 그와 비례하여 겉넓이가 늘어나질 않습니다.
겉넓이가 약간 부족합니다. 결국 세포가 필요한 만큼의 물질을 충분히 흡수하지 못합니다.
그래서 세포는 무작정 커지지 않고
세포의 표면적과 부피의 균형을 맞추기 위해서(표면적을 늘리기 위해서)
세포분열을 하여 그 개수를 늘리는 것입니다.
코끼리가 파리보다 큰 이유도 세포의 크기가 다르기 때문이 아니고
많은 수의 세포를 가지고 있기 때문입니다.
(5) 빈 공간이 늘수록 넓어지는 표면적의 힘
<이화영| 수학과 문화 연구소>
스펀지와 숯의 공통점 | ||||||||||||||
생활 곳곳에서 우리는 스펀지를 많이 이용합니다. 거실에 있는 소파나 자동차의 카시트는 겉의 재질이 천이든 가죽이든 내부는 스펀지로 되어 있습니다. 건축을 할 때에도 방음재로 없어서는 안 될 중요한 자재입니다. 스펀지가 달린 수세미로 설거지를 하면, 스펀지가 물을 잘 빨아들이기 때문에 거품을 더 많이 내줍니다. 여성들은 화장을 할 때 스펀지로 화장품을 묻혀 얼굴에 바릅니다. 특히, 무엇이든 잘 기억하고 받아들이는 아이들의 능력을 일컬어 ‘어린 아이의 머리는 스펀지와 같다’고 말하기도 하고, 폭신폭신해서 감촉 좋은 케이크에 ‘스펀지케이크’라고 이름을 붙이기도 합니다. 실내 또는 차 안에 놓은 숯은 냄새와 습기를 빨아들입니다. 숯은 더러운 것을 제거하고 깨끗하게 정화하는 기능을 가지고 있습니다. 우리 조상은 이런 사실을 알고 있었고, 그래서 간장을 담글 때 숯 몇 덩어리를 간장독에 넣어 두곤 했습니다. 숯의 정화 기능을 확대 해석한 것일까요? 숯이 귀신을 쫓는다는 이유로, 아이를 낳은 집 문간에 금줄을 걸 때도 곳곳에 숯덩이를 끼웠습니다. 수학적인 눈을 가지고 가만히 이 둘을 들여다보고 있으면, 생각지도 않게 그들의 공통점을 발견할 수 있기 때문입니다. 스펀지와 숯이 공통적으로 가진 수학적 원리는 무엇일까요? 숯이 오염 물질을 잘 흡수하는 탁월한 기능의 원리는 바로, 내부에 미세한 공간을 많이 가지고 있고, 넓은 표면적을 가지고 있다는 것입니다.
멩거 스펀지는 정육면체에서 동일한 크기의 정육면체를 계속해서 도려내는 과정을 반복하여 만들어집니다. 이런 식으로 반복하다 보면, 내부에 크고 작은 공간을 많이 가지게 되므로, 결국 부피는 한없이 작아지고 표면적은 한없이 커지게 되는 것입니다.
먼저, 각 모서리의 길이가 1인 정육면체를 하나 만듭니다. 그러면 처음의 부피는 1입니다.
1단계: 처음에서 각 면의 가로와 세로를 3등분하면, 이 정육면체는 27개의 똑같은 작은 정사각형으로 분할되는데, 이 때 각 면의 가운데와 중앙의 정육면체를 도려냅니다. 그러면 27개의 정육면체에서 20개의 정육면체만 남게 되고, 분할된 정육면체의 한 모서리의 길이는 1/3입니다. 따라서 남아 있는 입체의 부피는
2단계: 1단계의 과정을 작은 정육면체에 동일하게 반복합니다. 결과적으로 1단계에서 남은 20개의 정육면체에서 또 다시 작은 정육면체가 각각 20개씩 만들어지게 됩니다. 각 변의 길이는 1단계 정육면체의 한 변의 길이의 1/3입니다. 따라서 2단계에서 남아 있는 입체의 부피는
이런 식으로 계속 할수록 부피는 점점 작아져서 0에 가까워지게 됩니다.
이렇게, 단계를 반복하면 계속적으로 표면적이 늘어나 무한에 가까워진다는 것을 직관적으로 알 수 있습니다. 알 수 있는데, 숯은 1g에 대한 표면적이 무려 200~400㎡에 달한다고 알려져 있으며, 자연계에 존재하는 ‘제올라이트(Zeolite)’라는 광물도 1g에 100~300㎡의 표면적을 가지고 있습니다. 30평 아파트 한 채의 면적이 99㎡임을 감안하면, 숯과 제올라이트 1g은 아파트 한 채 이상의 면적을 지닌 셈입니다. 최근 새로 개발된 아연 테레프탈레이트라고 하는 물질은 1g에 6000~6500㎡의 표면적을 가지고 있어 현재까지 가장 최대의 면적을 지닌 것으로 알려져 있습니다. 국제 규격의 축구장은 면적이 6400㎡ 이상 되어야 하므로 테레프탈레이트가 얼마나 큰 표면적을 지니고 있는지 상상이 됩니다.
이렇게 어떠한 기능을 가진 재료는 그 표면적이 크면 클수록, 기체나 액체를 더 많이 표면에 달라붙게 하거나 반응할 수 있게 되므로 그 기능이 향상됩니다. 표면적이 넓으면서도 부피가 작으면 훨씬 효과적입니다. 제습기나 에어컨에도 이러한 재료를 이용하여 습기를 흡착하는 기능을 3배 이상 향상시킬 수 있다고 합니다. 또한 최근 가정에서 청소용구로 이용하는 아크릴 수세미나 극세사 걸레, 흰색의 스펀지처럼 생긴 ‘매직블럭’은 기름기나 먼지를 흡착하는 표면적이 크기 때문에 별도의 세제 없이도 어느 정도 청소가 용이합니다. 또한, 최근 한국화학연구원에서 지구 온난화의 주범인 이산화탄소를 흡착하는 소재와 에너지를 절약할 수 있는 수분 흡탈착 소재를 개발하여 환경문제를 해결할 것으로 기대를 모으고 있습니다. 이 역시 부피는 매우 작으면서도 표면적이 매우 넓은 멩거 스펀지와 같은 원리로 개발된 것입니다. 수학적으로는 같은 성질을 가지고 있고, 그래서 그 기능이 같음을 알 수 있습니다. 이처럼 수학으로 세상을 바라보면 새로운 것을 발견할 수 있고 세상을 개선시킬 수 있을 것입니다.
멩거 스펀지 만드는 법 1. 속이 채워진 정육면체 한 개로 시작한다.
http://kr.youtube.com/embed/D4_FE3Ihzkw http://kr.youtube.com/embed/nfLkuiHBnR0 http://kr.youtube.com/embed/TDZ3yYsTIF8 http://kr.youtube.com/embed/Gc454tziQsE (6)허파와 겉넓이
허파에 주름이 많은 이유는 표면적을 최대한 크게 하여 호흡량을 늘리기 위해서입니다. 표면적을 넓히는 것은 허파로 산소를 흡수하여 대사에 필요한 에너지를 얻기 위해서입니다. 그런데 몸의 크기가 커지면 부피에 대한 표면적의 비는 오히려 작아집니다. 대사를 해야 하는 생명체에게 가장 중요한 것이 표면적의 확보입니다.
그러면 부피는 작게 하면서 최대의 표면적을 확보하는 방법은 무엇일까요? 생명체의 몸속 기관이 선택한 것은 바로 프랙털 구조였습니다. (프랙탈 구조는 다음에 한번 다루겠습니다.)
(7)경기장속의 과학...내부의 부피에 대비해서 겉넓이가 최소인 곡면은 비누거품
베이징올림픽의 대표 상징물 가운데 하나인 수영경기장 '워터큐브'입니다. 가장 안정적인 구조로 통합니다. 이는 벌집과 잠자리 날개 등 생태계에서도 쉽게 찾아볼 수 있습니다. 비누 거품이에요. 구조적으로 제일 튼튼하고 또 굉장히 아름답습니다.] 과학 기술의 힘을 빌렸습니다. 투광성도 뛰어나 유리를 대신할 새 건축 소재로 떠오르고 있습니다. 이를 여러 겹으로 만들어 단열과 채광 효과를 키웠습니다. 그래서 내구성, 그 다음에 탄성 이런 것들이 상당히 훌륭한 소재이고.] 친환경 시설도 갖췄습니다.
(8)표면적을 최소화하는 경우
기후와 동물의 생김새 사이에 어떤 관련이 있는 걸까요? 동물은 몸의 표피를 통해 체온조절을 하기 때문에 외부로의 열손실을 적게 하려면 표면적을 줄여야 합니다. 어떻게 하면 표면적을 줄일 수 있을까요? 부피가 일정할 때 표면적이 최소인 입체도형은 구라는 사실이 알려져 있습니다. 몸을 움츠리거나 보폭을 좁혀서 사지를 몸통에 붙이는 방법으로, 가능하면 둥근 형태를 만들면 표면적을 줄일 수 있는 것입니다. 겨울잠을 자는 곰이나 다람쥐, 뱀 등은 몸을 공 모양으로 웅크리고 잡니다. 이렇게 하면 몸의 열이 가장 적게 나가서 겨울을 안전하게 보낼 수 있기 때문입니다.
수박과 사과, 토마토 등 많은 과일은 둥근 모양을 하고 있습니다. 수분을 많이 포함하고 있는 과일들은 생존하기 위해 껍질을 통해 증발하는 수분을 최대한 막아야 하는 숙명에 놓여있습니다. 그래서 증발하는 수분의 양을 줄이기 위해 스스로 겉넓이를 최소화하는 노력을 거듭했습니다. ‘구’는 부피가 일정할 때 그 부피의 겉넓이를 가장 작게 해 줍니다. 과일들이 스스로 효율성을 극대화하는 방향으로 진화한 것입니다. 주먹밥을 둥글게 만드는 것도 같은 원리로 설명할 수 있습니다. 이런 형태는 표면적을 최소화하여 밥의 열이나 수분을 덜 빼앗깁니다.
전쟁영화에서 보면 군사들은 무수히 쏟아지는 대군의 화살세례에 맞서서 둥글게 방패막을 만듭니다. 이것도 역시 표면적을 최소로 하기 위한 시도라고 할 수 있습니다.
이 밖에 눈싸움할 때 눈덩이를 둥글게 만드는 것도 표면적을 줄여 덜 녹게 하기 위한 이유로 설명할 수 있으며, 돔 형태의 지붕은 표면적을 최소화하여 재료비를 줄이면서 내부공간을 극대화할 수 있는 방법이라고 할 수 있습니다.
또한 물방울이 둥근 이유도 물의 표면적을 최소화하려는 표면장력 때문입니다.
|
(9) 표면적을 극대화한 구조
동물의 체내 조직에서 표면적을 극대화하여 물질교환의 효율을 높인 사례를 많이 찾아볼 수 있습니다.
그 대표적인 예로 올록볼록한 융털돌기와 융털, 포도송이 모양의 폐포,
실타래 모양의 사구체, 빗살모양의 아가미,
세뇨관이나 태반에 얽혀있는 모세혈관 등을 들 수 있습니다.
한편 더운 지방에 사는 동물일수록 말단기관(귀, 꼬리, 목)이
더 발달되는 경향을 볼 수 있습니다(앨런의 법칙).
이렇게 되면 표면적이 넓어져 단위시간당 열방출량이 늘어나므로,
체온이 지나치게 높아지는 것을 효율적으로 억제할 수 있게됩니다.
반면 추운 지방에 사는 동물은 말단기관이 작거나 짧은데,
표면적을 줄여 열방출량을 낮게 유지하는 것이 생존에 유리하기 때문입니다.
예를 들어 아프리카 코끼리는 인도코끼리보다 주름이 많고 귀가 큽니다.
아프리카 코끼리는 피부의 표면적을 최대한 크게 만들어서
(10) 무게와 단면적
생명체나 인공구조물의 다리가 지탱할 수 있는 무게는 그 다리의 단면적에 비례합니다.
그런데 어떤 생명체나 구조물이 체형을 그대로 유지한 채 비례성장하는 경우,
무게의 증가는 길이의 세제곱에 비례하는 반면 단면적의 증가는 길이의 제곱에 비례합니다.
이같은 ‘무게-단면적간의 불비례’의 문제로 인해 비례성장에는 한계가 있습니다.
그래서 개미처럼 작고 가벼운 동물은 상대적으로 가느다란 다리로도 지탱할 수 있지만,
코끼리처럼 크고 무거운 동물은 상대적으로 두꺼운 다리를 가져야만 합니다.
예를 들어 구형의 몸체와 사각기둥모양의 다리를 가진 가상적인 동물이
몸의 각 부분이 두배씩 커지면 무게는 8배가 되지만
이를 지탱할 다리의 단면적은 4배밖에 안됩니다.
(11) 델로스의 문제
기원전 430년경에 그리스의 델로스 섬에 전염병이 돌았습니다.
이것을 아폴로 신의 노여움이라고 생각한 델로스 주민들은 아테네 신전에 가서 많은 공물을 바치고
기도를 올리며 전염병을 없애줄 것을 빌었습니다.
그랬더니, 아폴로 신이 말했습니다.
"지금 신전에 정육면체 모양의 제단이 있다.
이 제단과 모양은 같고 크기를 2배로 하는 새 제단을 만들어라. 그리하면, 전염병이 물러가리라."
그래서 델로스 섬사람들은 똑같은 정육면체를 하나 더 만들어서 원래의 재단 옆에 나란히 붙였습니다. 새 제단은 2배로 커졌습니다. 하지만 정육면체는 아니었습니다.
이걸 본 아폴로 신은 화가 났고, 전염병은 도무지 멎을 기세가 아니었습니다.
당황하고 낭패한 델로스 섬사람들은 다시 한번 아폴로 신전에 가서 빌었습니다.
화가 난 아폴로 신이 말했습니다.
"나는 모양이 같은 새로운 제단을 만들라고 하였다.
그러나 너희들은 크기만 2배인 제단을 만들었다.
이 제단은 전체적으로 정육면체 모양이 아니다.
내가 원하는 형태는 전과 같이 정육면체이면서 크기는 본래의 2배인 제단이다."
델로스 섬사람들은 이번에는 원래 제단의 한 변의 길이를 2배로 늘려서 새로운 제단을 만들어
아폴로 신전 앞에 놓았습니다. 그러나, 전염병은 도무지 수그러질 기세가 없었습니다.
난감해진 델로스 섬사람들은 세 번째로 아폴로 신전에 가서 기도하였습니다.
더욱 화가 난 아폴로 신이 말했습니다.
"나는 모양은 같고 크기를 2배로 하는 제단을 만들라고 하였다.
그런데 한 변의 길이를 2배로 하여 만든 새로운 제단의 크기는 8배가 된다.
이것은 내가 원하는 모양이 아니다."
이렇게 하여 겨우 문제의 의미를 정확하게 파악한 델로스 사람들은
이 문제를 풀려고 연구를 시작했습니다.
그러나 델로스 사람들은 이 문제를 풀 수 없었습니다.
이 문제는 고대 사람들이 결코 풀 수 없었던 많은 문제 중 하나였습니다.
왜냐하면 컴퍼스와 자만을 사용해서 정육면체를 2배로 늘리기는 불가능하기 때문입니다.
이러한 전설 때문에, 이 문제를 '델로스의 문제'라고 합니다.
Tchaikovsky. "The Seasons", op. 37-bis: June ("Barcarole")
오데뜨 
