쑥쑥몰
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쑥에 아주 오랫만에 왔어요.
혹시 쪽지 보낸 사람이라도 있으까 싶어서... 새벽에 잠깐 들왔다가...
간만에 만재아빠님의 딴지 꺼리를 발견하고 이렇게 넙죽 물었네요 ㅋㅋㅋㅋ
만재 아빠님이 아래 세 문제를 좋다고 말씀하셨는데...
전 별로 공감이 안되네요.
만재 아빠님 풀이를 보고도 답이 안나오는 대략난감의 사태네요 ㅠ.ㅠ
첫번째 문제의 경우...
만재 아빠님이 초장에 네 수를 모두 같게 잡으셨어요. 왜????
바로 이문제의 핵심이라고 생각합니다.
네 수를 같게 잡고 시작할 수 있는 수리 논리력을 묻는 문제라는 생각입니다.
x가 다른 세수 보다도 큰 수이면서 등식을 만족하는 최소인 경우를 찾으라 했습니다.
x가 최소가 될 수 있는 경우는 다른 세 수가 최대한 커지는 경우입니다.
물론 x 보다 작다는 조건하에서요.
거기에 가장 부합하는 경우가 바로 네 수가 모두 같은 경우이죠.
2008을 6으로 나누면 334하고 나머지 4가 남습니다.
x가 가장 큰 수 이므로 x=335로 하면 3x+y+z+w=2007이 되죠.
x가 최소인 경우를 찾아야 하기에 모자란 1을 y에게 붙입니다
y=335, z=w=334 잡으면 됩니다.
이 정도 수리 논리력은 제 생각엔 몇번의 연습으로 훈련시킬 수 있는 부분이란 생각입니다.
훈련으로 해결 되는 문제 유형을 전 개인적으로 좋아하지 않습니다.
두번째 문제는 이건 너무 노골적으로 고1 선행을 부추기는 문제라서 더욱 맘에 안듭니다.
평범한 중학생이라고 해도 고1 선행만 쭉 뽑았다면 간단하게 풀 수 있는 문제입니다.
중 3 과정에서 인수분해도 나오고 이차방정식의 근과 계수의 관계도 나옵니다.
거기서 좀 더 차수가 올라가고 약간의 잔기술만 부리면 고1 과정이 되는게 맞습니다.
그래서 중등 수학 경시는 어찌 보면 고1 과정 까지를 포함 한다고도 볼 수 있겠습니다만...
암튼 그닥 창의적인 문제라기 보다는 아주 평범하고 쉬운 고1 문제를 몇 년 땡겨서 중학 경시에 출제한 것 같습니다.
즉, 몇 년 땡긴 선행이 심화를 커버한다는...
학년 파괴를 부르짖는 작금의 사교육에 힘을 실어주는 문제 같아서 별로 좋아 보이질 않네요 ㅠ.ㅠ
세번째 문제는 참으로 난감하네요
급두통을 일이킵니다 ㅠ.ㅠ
중등 수학 과정에서 어떻게 가지 뻗어가서 저런 문제가 나왔는지... ㅠ.ㅠ
고등학생들에게 풀어라 주면 수1을 제대로 배운 학생이라면 답은 충분히 찾아 낼 수 있겠습니다만....
수학적이고 깔끔한 풀이를 기대할 순 없을 것 같습니다 ㅠ.ㅠ
저것이 진정 공신력 있는 중등 수학 경시 기출 문제라면 분명 수학적 가치가 있는 풀이가 있을 것이란 생각입니다.
수학적 가치가 있는 풀이 보다 그저 답만을 원하는 문제라면 시간과 종이만 있으면 몇번의 노동 끝에 찾아 낼 수 있는 답입니다 ㅠ.ㅠ
기본적으로 맨 처음 시작은 약수의 개수를 샐 줄 알아야겠네요.
n의 약수의 개수를 세려면 n을 소인수분해 해서 소인수의 지수를 파악해서 약수의 개수를 세어야합니다.
이 부분이 중2-2 확률 단원에서 경우의 수 구하는 즈음에 어느 정도 까지 소개가 되어지는지 모르겠네요.
분명한 것은 고2 수1에서 등비수열 배우고 나서 확률에서 경우의 수 배우면서 약수의 개수, 약수의 합을 구하는 일반적인 방법을 배웁니다.
만재아빠님~~
어떤 의도의 글이신지....
놀자가 파악이 안되네요 ㅠ.ㅠ
에구 머리야.....
: 만재아빠님의 글입니다.
> 중등 KMO 최근 문제중에서 3문제를 풀어 봅니다. 1번과 2번 문제 그리고 18번 문제입니다. 도형을 인터넷에 제가 그릴 수가 없어서 이렇게 세 문제를 골라 보았습니다. 교과서 열심히 했는데 왜 않풀리느냐 하면 밑에 문제들을 괴물 취급하면서 보지 않고 풀어 보지 않고 생각하지 않기 때문입니다. 문제집들의 문제풀이에 급하기 때문에 몇 분의 시간적 여유가 없는 것입니다. 별 필요없다고 생각하시는 분들과 쓰레기 같다고 생각하시는 분들의 의견도 저는 존중합니다. 중등 수학 올림피아드에 관심을 가지신 분들은 한번 풀어 보시기 바랍니다.
> 국어실력 부족으로 수학을 못한다고 생각하시는 분들도 있습니다.ㅋㅋ
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> 저는 깔끔하게 정확하게 풀리고 생각하게 하는 좋은 문제들이라고 생각됩니다. 올림피아드 문제 ( KMO, AMC. AIME, IMO, Putnam 유형 )들이 깊은 사고력 향상에 크게 도움이 된다고 저는 생각합니다. 부모가 좀 풀어 보고 가르치는 것이 좋다고 생각하는데 "나는 불가능하다" 라는 정신으로는 절대 할 수가 없습니다. 부모님들이 "전체를 이런 부분이구나" 하는 정도 알고 문제제공을 하시면 아이 스스로도 접근할 수 있다는데에 믿음을 가지고 있습니다. 수학 문제를 푸는 것은 즐거워야 하는데 괴롭고 아이 잡는다 라는 방식의 사고로는 올림피아드에 접근할 수가 없다고 생각합니다. 초중등에서 수학 교육 시간을 최소화시키기 위한 방도를 마련하기 위해서 다양한 문제유형들을 보았습니다. 역시 저는 KMO, IMO, PUTNAM유형의 문제들이 좋은 문제라는 결론을 내리게 되었습니다. 물론 저만의 주장입니다.
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> 1. 다음 방정식과 부등식을 모두 만족시키는 x 의 최솟값을 구하시오. ( 단, x,y,z,w 는 모두 정수이다. )
> 3x + y + z+ w = 2008, 0 <= w <= z <=y<=x
> 풀이) x=y=z=w 라고 가정하자. 그러면 x = 2008/6=334.66666......이다. 2008 이상의 수 중에서 6의 배수인최소의 정수는 2010 이다. 2010/6=335 임으로 x 와 y 에 큰 값인 335를 z 와 w 에 334 를 대입하면 부등식과방정식을 모두 만족한다. 그러므로 답은 335 이다.
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> 사고력 합차산에서 문제를 해결할때 같거나 임의의 수로 가정을 하지요? 어느 저자는 우기기 문제라고도 합니다. 초등에서 부정방정식에 개념은 나오지 않지만 유사한 문제들은 많이 나옵니다. 그리고 위의 문제가 유전자 문제로 인하여 풀지 못할 문제라고는 생각지 않습니다. 풀어 보지도 않고 보지도 않으면 절대 못 풀게 됩니다. 뼈대를 세우고자 하시면
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> 예제 )
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> 두 수의 합이 27일때 가능한 두 자연수를 구하라 혹은 가능한 두 양의 정수를 구하라 를 다른 표현으로 하면 x,y 를 양의 정수라할때 방정식 x+y=27 일때 가능한 x 와 y 의 쌍을 나열하라. 나열된 x 와 y의 순서쌍에서 x 와 y 의 값이 같을 수 있는가? 차이가 1 이 나는 순서쌍을 찾아 보아라 등으로 시작을 해야 하지 않나 생각됩니다. 한단계 더 나아가서 부등식의 개념을 설명하고 3x + y =27, y<=x 일때 x 값의 최솟값을 구하라 하는 식으로 최솟값,최댓값의 개념과 존재유무관계를 생각해보면 좋지 않을까요.
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> 2. 방정식 x^2-2x-1=0의 두 근을 a,b 라 할때 a^5+b^5 을 구하라.
> 풀이) a^5+b^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b) 에서 a+b=2 이고 ab=-1 이기 때문에 계산하면 82 가 나오게 됩니다. 인수분해및 연산을 조금만 하는 아이들이면 풀기 쉬운 문제입니다. 흔하게 존재하는 수학 문제 아닌지요. 뼈대를 세우고자 한다면
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> 약수, 배수, 소인수분해 배울때 소인수분해를 한 후에 인수들을 조합하는문제들을 연습하면 되겠지요. 인수,약수, 배수, 방정식, 해 등에 관한 개념을 확고하게 하면서 연산을 연습해야 뼈대가 튼튼하게 되지 않을까요.
> 18. 어떤 양의 정수 n 의 양의 약수의 개수는 6 개이고, 이 약수들의 합이 ( 3n+9)/2 이다. n 의 값을 구하시오.
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> 풀이 ) 양의 약수의 개수가 6 이라는 것은 6=2x3 혹은 6=1x6 임으로 n=ab^2 혹은 n=a^5 의 꼴인데 후자는 대입해서 계산해 보면 만족하는 n 을 찾을 수 없고 전자는 대입해서 방정식을 세워서 해를 구해 보면 b=3 a=17 을 구할 수가 있다. 답은 153.
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> 이것은 약수의 개수, 약수의 합, 등비수열, 부정방정식, 연산에 대한 연습으로 뼈대를 세워 놓으면 풀리지 않을까요?
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> 예로써 24 의 약수의 개수를 구하고 약수의 합을 구하시오. 약수의 합을 소인수분해했을 때 소인수의 개수를 구하시오. 소인수중에 최댓값과 최솟값을 구하시오 등으로 뼈대를 세우면 좋지 않을까요? 하노이 탑 문제로 등비수열에 대한 사고력을 확장시켜 등비수열 합의 공식을 유도해 보면 좋겠습니다. 혹은 수막대기로 약수,배수에 대한 사고를 확대 해 볼 수도 있겠으며 최대공약수와 최소공배수를 이용하여 유사문제들을 접할 수 있다고 생각됩니다. 더불어 함수의 개수, 파스칼 삼각형과 방정식의 계수 문제, 다항 방정식 등을 다루어서 연산력에 의한 방정식 풀기와 정수론,함수론을 함께 적정 중등 수준에서 접하면 좋겠다 라는 저의 생각입니다.
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sousou 
최신
이전
세번째 문제 풀이에 관심있는 분들만 보시길....
10-가(고1) 과정까지만 이용되었고, 깔끔한 풀이(?)입니다^^
(1) n=a^5 (a는 소수)인 경우
1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 = ( 3a^5 + 9 ) /2
식을 정리하면 a^5 - 2a^4 - 2a^3 - 2a^2 - 2a -7 = 0
인수정리에 의해 자연수 해는 존재하지 않습니다.
a가 소수이므로 a에 7만 대입해보면 되겠네요...
(2) n=a^2 x b (a,b는 소수) 인 경우
( 1 + a + a^2) ( 1 + b) = ( 3a^2 x b + 9 ) /2
식을 정리하면 (b-2)a^2 - 2 ( b + 1) a -2b + 7 = 0 ....[1]
1) b=2 인 경우 a=1/2 (모순)
2) b=2 아닌 경우
D/4 = 3 ( b^2 - 3b + 5 )
[1]의 2차식이 자연수근을 가지려면 루트를 벗어야 되므로 D/4값이 0 이거나 완전제곱수.
D/4 값은 0이 될 수 없으므로 완전제곱수이어야 합니다.
따라서 3 (b^2 - 3b + 5 ) = 완전제곱수
b에 작은 소수부터 차례로 대입해 보면 b=17을 구할 수 있고
위의 [1] 식에 b의 값을 대입해서 2차식을 풀면 a=3 을 얻어낼 수 있습니다.
그러므로 n = a^2 x b = 3^2 x17 = 153
이 정도 문제까지야 고교 선행으로 충분히 가능한 문제이지만
다른 문제들은 훠얼씬 더 어렵습니다. 고등학교 과정도 뛰어 넘습니다.
특히 정수론부분은 고등학교에서도 맛만 보는 정도로 밖에 다루지 않기 때문에
수학에 감각이 없는 학생들은 이해 자체도 불가능합니다.
실제로 정수론은 대학과정에서 배웁니다만. 경시하는 아이들은 중학 때 하더군요...
초등때는 너도 나도 경시 한다고 하지만,
중학 이상에서는 소수의 수학에 뛰어난 재능이 있는 학생들 이외에는 잘 할 수도 없고
해서 되지도 않습니다.
열심히 하면 따라갈 수 있는 학교 교과 과정과는 다르죠...
초등때 그 많던 경시하던 아이들이 중등 이상에서 화악 줄어드는 것만 봐도 알 수 있습니다.
그냥 그런 애들도 있나 보다 하고 생각하시는 게 정신건강에 이로울 듯합니다ㅎㅎㅎ