쑥쑥몰
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앞서 소개한 수학다큐멘터리
"피타고라스정리의 비밀"1부내용을 토대로
작성한것입니다.
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1부 삼각형의 흔적
1부에서는 직각삼각형에 관한 두 가지 이야기가 나옵니다.
탈레스가 직각삼각형의 닮음성질을 이용하여 피라미드의 높이를 측정한 과정과
2500년전 인류가 최초로 양방향에서 뚫은 직선터널 설계과정에 응용된
직각삼각형의 성질에 대한 것입니다. 아주 흥미롭습니다.
[1] 첫번째 이야기:피라미드 높이 측정
삼각형으로 이루어진 고대 이집트인들의 문화유산 피라미드.
피라미드는 역사상 인간이 만든 가장 위대한 건축물중의 하나입니다.
이 거대한 건축물엔 고대인들이 알고있는 수학적지식,
그 가운데서도 삼각형의 지혜가 총동원됩니다.
당시 이집트인들은 거대한 피라미드를 건설했지만
실측하지않고서는 피라미드의 높이를 잴수있다고 생각지는 못했습니다.
그러나 이집트에 유학하면서 과학과 수학을 공부하고있던 탈레스는
막대와 삼각형을 이용해 피라미드의 높이를 잴수 있었습니다.
어떻게 피라미드의 높이를 잴 수 있었을 까요?
우선,탈레스는 태양에서 지구 위로 내리쬐고 있는 모든 빛줄기는 평행이 되어야 한다는
과학적인 전제에서 출발을 했습니다. 왜 평행이 되어야만 구할 수 있을까요?
그것은 탈레스가
"닮은 두 도형의 대응변의 길이의 비가 일정하다"는 성질을 이용하여 피라미드의 높이를 측정했는데,
그림자에 의해 생기는 두 직각삼각형이 닮음인것을 보장받기 위하여는
빛줄기가 평행해야 동위각으로 한 예각의 크기가 같기 때문입니다.
닮음의 성질을 이용하여 피라미드의 높이를 구하는 방법엔 여러가지가 있지만
다큐멘터리에 나오는 방법을 소개해 보겠습니다.
우선,수직으로 막대를 세웁니다.
그리고 아래 그림과같이 같은시각에 막대그림자의 끝과 피라미드그림자끝에 작은막대를 꽂습니다.
이때,빛줄기는 평행하므로 두 직각삼각형에서 그림자끝의 한 예각의 크기가 동위각으로 같게되어
아래의 두 직각삼각형은 닮음꼴이 됩니다.
그런다음 처음에 세운 막대의 높이와 같은 길이만큼의 그림자가 더 늘어질때까지 기다렸다가
그 그림자끝과 피라미드의 그림자끝에 작은막대를 또 꽂습니다.
다시말해 아래그림에서 초록색으로 표시한 길이가 같아지는 시점에서
그림자끝에 작은 막대를 꽂으면 피라미드 그림자에 꽂은 작은 막대 두개사이의 길이가
피라미드의 높이가 되는 것입니다.
왜냐하면 피라미드의 높이와 두번째로 꽂은 작은막대에 의한 직각삼각형과
처음에 수직으로 세운막대(초록색)와 두번째로 꽂은 작은막대에 의한 직각삼각형이
닮음이기때문입니다.
[참고]
탈레스는 비례 관계를 이용하여 피라미드의 높이를 구할 때,
태양에서 지구 위로 내리쬐고 있는 모든 빛줄기는 평행이 되어야 한다는
과학적인 전제에서 출발을 했습니다.
정말 태양에서 내리쬐고있는 빛줄기가 모두 평행이 되는지를 실제적으로 알아봅시다.
엄밀히 말씀드리면 평행하게 들어오지 않습니다.
하지만 평행하게 들어온다고 이야기해도 틀리지 않습니다.
이유는 지구의 반지름은 약 6400km이므로 지름은 약 12800km입니다.
그런데 지구와 태양사이의 거리는 약 1억5천만km입니다.
즉 지구 지름의 약 1만2천배 가까이 됩니다.
비추는 면적(지구의 크기)에 비하여 대단히 먼거리입니다.
그럼 왜 광원(예를 들어 태양이나 달)이 멀리 있으면 빛이 평행하게 들어올까요?
예를 들어 설명드리겠습니다.
우리가 어떤 물체를 바라봤을째 우리 눈을 중심으로
그 물체(공이라고 가정하면)의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 세 점을 이으면
물체의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 사이에는 사잇각이 나타납니다.
그런데 그 사잇각은 물체가 멀리 있을수록 작아지지요.
(멀리 있는 물체가 작아보이는 것과 같은 원리입니다.)
다음 그림으로 보충설명을 드리면 다음과 같습니다.
태양
↙↙↓↓↘↘햇빛
ㅡㅡㅡㅡㅡ땅
위 그림에서 땅의 크기를 그대로 유지시키고(지구의 크기는 고정되어 있으므로)
태양을 점점 멀리 놓아 보세요.
그럼 처음보다는 햇빛이 평행에 가까워진다는 것을 알 수 있으실 겁니다.
결론적으로 태양빛은 완벽한 평행으로 비추지는 않습니다.
하지만 지구의 크기에 비하여 대단히 멀리 떨어져 있으므로 거의 평행에 가깝게 들어오지요.
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Thales understood similar triangles and right triangles,
and what is more, used that knowledge in practical ways.
The story is told in DL (loc. cit.) that he measured
the height of the pyramids by their shadows at the moment when his own shadow was equal to his height.
A right triangle with two equal legs is a 45-degree right triangle, all of which are similar.
The length of the pyramid’s shadow measured
from the center of the pyramid at that moment
must have been equal to its height.
This story reveals that he was familiar with the Egyptian seqt,
or seked, defined by Problem 57 of the Rhind papyrus as the ratio of the run to the rise of a slope,
which is currently the cotangent function of trigonometry.
It characterizes the angle of rise.
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Similarity
Two geometrical objects are called similar
if one is congruent to the result of a uniform scaling
(enlarging or shrinking) of the other.
One can be obtained from the other by uniformly "stretching", possibly with additional rotation,
i.e., both have the same shape,
or additionally the mirror image is taken,
i.e., one has the same shape as the mirror image of the other.
For example, all circles are similar to each other,
all squares are similar to each other,
and all parabolas are similar to each other.
On the other hand, ellipses are not all similar to
each other, nor are hyperbolas all similar to each other.
Two triangles are similar
if and only if they have the same three angles,
the so-called "AAA" condition.
However, since the sum of the interior angles in a triangle
is fixed in a euclidean plane,
as long as two angles are the same,
all three are, called "AA".
[edit] Similar triangles
If triangle ABC is similar to triangle DEF,
then this relation can be denoted as
In order for two triangles to be similar,
it is sufficient for them to have at least two angles that match.
If this is true, then the third angle will also match,
since the three angles of a triangle must add up to 180°.
Suppose that triangle ABC is similar to triangle DEF
in such a way that the angle
at vertex A is congruent with the angle at vertex D,
the angle at B is congruent with the angle at E,
and the angle at C is congruent with the angle at F.
Then, once this is known, it is possible to deduce portionalities between corresponding sides of the two triangles,
such as the following:
In summary, if two triangles are similar,
all the linear objects in the two triangles are of the same ratio.
This idea can be extended to similar polygons with any number of sides. That is, given any two similar polygons,
the corresponding sides are proportional.
[edit] Angle/side similarities
A concept commonly taught in high school mathematics
is that of proving the "angle" and "side" theorems,
which can be used to define two triangles as similar (or indeed, congruent).
In each of these three-letter acronyms,
A stands for equal angles, and S for equal sides.
For example, ASA refers to an angle,
side and angle that are all equal and adjacent,in that order.
- AAA - Angle-Angle-Angle.
- If two triangles share three common angles, they are similar. (Obviously, this means that the side lengths are locked in
- a common ratio, but can vary proportionally,
- making the triangles similar.) Additionally, since the interior angles of a triangle have a sum of 180°,
- having two triangles with only two common angles
- (sometimes known as AA) implies similarity as well.
See also: Congruence (geometry)
오데뜨 
