쑥쑥몰
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"수학 공부 방법을 다시 생각해보자?" "선행학습이 장단점?" "도움이 되는 교재나 싸이트는요?" "현대수학의 흐름과 관련분야?" "학과선택=진로 결정" "창의성 교육과 수학"이라는 순서로 여러분과 얘기를 나누고자 합니다.
1. 수학은 무엇이며 왜 배울까요?
수업을 할 때 수학이 뭐라고 생각하느냐고 물어봅니다. 대답은 90%정도가 계산, 문제풀이라고 답합니다. 처음부터 너무 어려운 질문인가요? 저 개인적으론 "생각하는 연습이다."라고 한 마디로 말하고 싶습니다.
어떤 문제를 해결하려면 다양한 해결책을 생각하고 가장 좋은 것을 채택하겠지요. 수학 공부도 그렇다고 생각합니다. 다만 수와 수식이라는 도구를 사용하여 이런 문제 해결력을 키워 가는 것이죠. 다양한 현상에서 규칙을 찾고 원리를 분석하고, 공통점과 차이점을 찾아보고 이런 과정을 통해 수학적 사고력을 키워 가는 것입니다. 다음 글을 통해 좀더 깊이 있게 설명하겠습니다.
과학자이며 대 수학자인 갈릴레오는 "자연은 수학이라는 언어로 쓰여져 있다."라는 말을 남겼습니다. 이 말은 자연 과학이 수학의 바탕 위에서 연구되며, 기록, 보관된다는 뜻이겠지요? 자연 과학을 연구하는 데는 무엇보다도 "왜 그렇게 되나"를 생각해야 하며, 그 해답을 구하기 위해서는 『논리적이고도 합리적인 사고력』, 즉 『생각하는 힘 전체를 기르는 것』이 가장 바람직합니다.
우리는 이 『생각하는 힘』을 기르기 위하여 수학을 배운다고 하겠습니다. 수학이 생각하는 힘, 생각하는 방법을 길러 준다고 하면, 수학이 모든 학문 연구의 바탕이 됨은 당연하겠지요. 그러나 지금의 공, 사교육 수학공부는 시험 성적, 대입을 위한 문제풀이 요령을 지나치게 강조함으로서 수학공부의 핵심인 수학적 사고력을 등한시하는 것이 현실입니다.
수학적 사고로 훈련된 사람들은 종합적인 분석능력과 자유로운 사고방식에 익숙합니다. 그래서 국방, 경제 등 수학과 직접적으로 관련이 없는 일반 분야에서도 능력을 발휘합니다. 컴퓨터. 군수안보. 정보통신 분야에 수학자들이 대거 영입되는 이유가 그것입니다. (조용승 이화여대 교수, 수학 )
중요한 인물을 보호하기 위해 쓰는 방탄유리를 본 적이 있을 것이다. 방탄유리를 만들려고 했던 사람들의 생각을 상상해 보자. 보통 사람이라면 아마 기존의 유리를 아주 두껍게 해 보려고 하지 않았을까 하지만 근원을 탐구하는 분석적인 사고방식을 가진 사람이라면, 방탄유리가 유리일 필요는 없고, 다만 투명하고, 탄성과 강도가 높아야 한다는 두 조건만 충족시키면 된다는 점을 먼저 파악하였을 것이다.
이렇게 현상으로부터 원리를 분리해 이해하는 분석적인 사고방식으로 훈련된 사람은 보통 유리라는 것에 구애받지 않고 방금 말한 두 조건에 맞는 새로운 재질을 찾아 나섰을 것이다. 그러나 남의 기술을 모방하는 데 익숙한 사람은 보통 유리와 씨름하면서 결국 세월만 힘들게 보냈을 것이 뻔하다. 이와 같이 선도적인 위치에서 창의적인 연구를 수행하려면 현상으로부터 원리를 분리해 연구하는 수준 높은 사고방식을 갖추는 것이 중요하다.
여기에 이르는 왕도와 지름길을 찾고 싶은가 그것은 바로 수학 연구와 수학 교육에 있다.
이것이 수학의 기원이며 지금 세상을 지배하는 서양 과학의 기원이다. 수학은 공식을 모은 커다란 보따리가 아니다. 현상의 표피를 뚫고 들어가 근본 원리를 찾고 그 원리와 조화를 분석적으로 정리하는 것이 수학이다. 그러니 수학 연구와 교육이 잘 되는 나라가 선도적인 위치에 서는 것 또한 당연하지 않은가. (포항공대 김강태 교수)
2. 수학은 무엇에서 출발하고 옳고 그름의 판단 기준은요?
우리는 태어나면서부터 약속이라는 것을 배우고 지키면서 살아갑니다. 수학도 그렇습니다. 약속 즉 정의에서 출발합니다. 정의가 하라는 대로 하고 지키기만 하면 수학은 잘 할 수 있습니다. 많은 학생들이 맨 먼저 나오는 정의와 기본 개념은 대강 보고 공식을 암기해서 문제 풀이에 치중하면 금방 지치고 바닥이 들어나죠.
선생님들도 새로운 단원을 시작할 때 정의의 중요성을 간과하므로 학생들도 중요성을 모르는 것 같습니다. 문제를 풀어서 답이 맞는가 하는 것도 약속 즉 정의에 어긋나지 않으면 정답이죠. 참 정직하고 단순한 녀석이 수학 아닌가요. 또한 정의가 수학을 자유롭게 합니다.
예를 들면 1+1= 2이지만 a*b= a+b-ab라 정의하면 2*3=2+3-2x3=0이죠. 이것을 통해 컴퓨터 프로그램에 새로운 수식과 연산이 얼마든지 가능하고 자유로울수 있습니다.
3. 수학에 상상력이 얼마나 중요할까요.
이건 논란이 있을 수 있다고 생각하는데, 수학자와 소설가, 시인 중에서 누가 가장 상상력이 필요할까요? 하나의 예를 들겠습니다. 영국의 유명한 수학자 D.힐버트는 제자가 시인이 되겠다고 떠나자, "그 녀석은 시인이 될 만큼의 상상력밖에 안 돼." 했다는 군요. 그 만큼 수학이 상상력이 필요하다는것을 강조한 말로 이해해 주세요.
수학을 잘하려면 전 상상해 봐라, 그림 그려봐라. 또 다른 풀이법은 없나. 등을 강조하고 싶습니다. 많은 학생들이 수학을 어려워하는 이유 중에 하나가 수학공식이나 계산을 못해서가 아니라,. 주어진 문제를 그림이나 수식으로 상상할 수 없어서 이해를 못하는 경우가 더 많습니다. 다음 두 가지 예를 봅니다.
성냥 여섯 개로 정삼각형 네 개를 만들라면?
많은 학생들은 불가하다고 합니다. 이 문제의 뜻은 평면에서 공간으로 상상의 세계를 옮기면 해결됩니다. 평면에 삼각형 하나와 공간을 꼭지점으로하는 정사면체가 답이죠.
학생들은 삼각형의 세 각의 합은 180라 답합니다. 그러나 둥근 축구공 같은 곳에 삼각형을 그리면 세 각의 합은 점점 커지다가 원의 지름에 오면 삼각형은 직선이 되고 합은 540도가 되며 다시 작아지기 시작하죠. 이런 의문을 갖는 학생은 아직까지 못 만났습니다. 즉 평면도형은 성립하지만 구면도형에서는 성립하지 않는 것이죠. 평면에서 구면으로 상상력을 넓히지 못하는 거죠.
4. 수학 공부와 독서는 어떤 관계일까요?
벌써 감이 오셨나요. 전 절대적으로 독서량이 수학 공부와 정비례한다고 믿습니다. 독서력이 상상력과 생각하는 힘, 논리력을 키워주니깐요. 다만 글을 그대로 받아들이지 말고 힘들지만 비판하고, 의문을 갖고, 자기만의 대안을 낼수 있는 독서라면 더 좋겠지요. 낮선 문제, 어려운 문제를 만났을 때, 대부분은 문제 해석을 못해서 해결 못하는 경우가 대부분입니다. 공식을 몰라서, 계산력이 없어서 그런 것은 아니라 생각합니다.
논리적으로 생각하는 힘을 기르기 위해서는 사고력의 핵심인 원리를 이해할 수 있도록 꾸준히 규칙적으로 문제를 해결하는 연습이 필요합니다. 이공계를 전공하려는 학생들이 과학잡지(과학동아, 뉴톤 등)나 이공계관련 책을 읽는 학생이 적음이 아쉽기만 합니다.
공부를 잘하는 아이를 원하신다면 책을 많이 읽히세요.
중2인 우리 큰아이는 책을 굉장히 좋아하고 많이 다양하게 읽었습니다. 초등학교 다닐때에도 학원에 다니면 책 읽을 시간이 줄어들게 되어서 보내지 않았습니다. 아이들을 학원도 안 보내고 그냥 내버려 둔다고 주변 사람들에게 눈총도 받았구요. 하지만 지금까지 성적은 최상급입니다. 중학교와서도 아직 국어 문제집 한번 풀지 않았는데도 상위권이구요. 확실히 책을 많이 읽은 아이들이 모든 과목에 이해력이 생겨서 공부가 훨씬 수월하더라구요.
하지만 우리 작은 아이는 부족한 부분이 많거든요. 제가 두 아이를 비교해 보면 결론은 다양한 독서량입니다. 성적이 문제가 된다고 생각이 되시면 학원에만 보내지 마시고 빠른 시간에 책읽기 부터 시작하세요. 이해력이 좋은 아이들이 어떤 과목을 공부해도 빠른 시간에 효과를 보더라구요. ..
5. 응용력은 어떻게 키우나요? 문장제는 못해요?
간단한 문제는 하는대 문장제나 몇 단계를 거치는 복잡한 문제는 어떻게 해야 할까요. 많은 분들이 많이 풀면, 반복해서 풀면 된다고 하십니다. 전 좀 다르게 봅니다. 그것은 비슷한, 같은 문제가 나오면 통하겠죠. 전 인터넷의 뒤로 기능을 예로 들겠습니다. 앞에서 수학은 정의에서 출발한다했죠, 그렇습니다. 앞부분을 정확하게 몰랐기 때문에 틀리는 것이죠. 다시 한번 틀린 문제, 해결 못하는 문제와 앞부분을 연관시켜 생각하다보면 어느 순간 해결책이 보일 것입니다.
이런 경험이 많아지면 수학은 잘 하게 될 것입니다. 그 만큼 부모님이, 선생님이 기다려줘야 한다는 것입니다. 모른다고 그때 그때 설명해주면 발전을 기대하긴 어려울 것입니다. 저도 우리애들은 시행착오가 있었지요. 기다려야 한다는 것을 알았지만 그것이 정말 힘들더군요. 그런데 언니 어깨 너머로 배우는 동생은 언니책을 혼자하는것을 보면서 많이 배웠습니다.
6. 얘가 공부하는지 안 하는지 아는 방법은요?
전 한마디로 질문이 많으면 공부를 하고 있다고 믿습니다. 하면 할수록 질문과 의문이 많아집니다. 저도 10년 경력이 있지만 아직도 언제나 의문이 나거든요. 이런 제가 실력이 부족하다는 증거나 돼버렸나요. 질문이 없으면 부모님이 틈틈이 질문을 하세요. 답이 맞았더라도 과정을 질문하던가, 다른 방법으로 풀어 보라고 말이죠.
그러니 부모님이나 선생도 공부를 해야만 할 것 같습니다. 더 중요한 것은 문제집에 나온 모범답안과 다르게 풀어서 맞았을 때입니다. 다른 풀이라 틀린 것이 아니라 독창적 사고일수도 있는데 부모님이 모르시면 아이는 틀린 것으로 생각하여 다음에 이런 다양한 방법을 할 수 없을지도 모릅니다. 안타까운 일입니다. 거칠게 생각한 것을 매끄럽게 다듬어 주는 것이 선생이 역할이라고 생각합니다.
예를 들어 "1, 3, 5, 7, ( )에서 ( )안에 알맞은 수는?"의 답은 대부분 9라고 할 것입니다. 어떤 학생이 33이라고 했을 때 무조건 틀렸다고 할 수 있을까요? 2n-1+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 수식을 알고 있다면 정답이 될 수도 있습니다.
7. 수학공식은 암기해야 하나요?..
" 공식을 알면 편하고 모르면 불편할 뿐이다. " 많은 학생들이 수학공식을 암기하고 문제를 대입하는 형태로, 유형별 문제를 많이 풀어보는 방법으로 수학을 공부합니다. 이런 공부는 현대수학에서 강조하는 고차원적 응용력과 창의적 문제 해결력에는 도움이 되질 못합니다.
공식을 유도하는 과정을 공부하면 그 과정에서 공식의 의미를 깨닫게 되고 응용력을 넓힐 수 있게 됩니다. 결론적으로 말한다면 ‘수학에서 기억할 것은 공식의 결과가 아니라 공식을 유도하는 사고 과정’이라는 것을 명심하세요.
즉 ‘외우는 수학’에서 ‘원리를 이해하는 수학’으로 발상의 전환을 해야 수학을 잘 할 수 있습니다. 대다수 학생들은 수학이 공식을 외우지 않으면 하기 힘든 과목이라고 생각합니다. 예 - 대각선의 수와 내각의 총합을 구하는 공식을 " n(n-3)분의 2 , 180 x (n-2) "로 암기합니다. 그러나 모든 도형의 기본이 삼각형이라는 것을 이해한다면 위 공식이 생각나지 않을때, 다음과 같이 간단히 만들수 할수 있습니다.
" (꼭지점의 개수 x 대각선을 그릴수 있는 점의 개수)분의 2, 180도 x삼각형의개수 " 의 예를 생각한다면, 원리이해와 생각하는 습관이 얼마나 중요한 지 알 수 있습니다. 수학공부는 원리를 이해하면 사고력, 창의력은 물론 문제 해결력까지 저절로 길러주기 때문입니다.
초등예 : 4 / 2=2 즉 4 * 1/2 =2. 4/(1/2)=8 4 * 2 =8 에서 어떻게 설명할까? 나눈다는 것을 몇 조각으로 쪼개어지는냐는 것이다.
8. 틀린 문제는 고맙다?
축구공 위의 수학자인 강석진 교수는 수학을 잘하려면 틀리는 것을 두려워하지 말라고 했습니다. 누구나 틀릴 수 있기 때문이죠. 뒤집어서 틀린 문제에 대한 생각을 다르게 보아야 합니다.. 본시험에 앞서 '이 부분을 내가 몰랐구나. '틀렸다고 생각하지 말고, 내가 푸는 것이 달랐구나?' '이런 생각을 못했내. 이런 접근법도 있네? 라고 긍정적으로 생각하면 자신감도 생기고 즐겁게 수학문제를 대할 수 있을 것입니다.
같은 유형의 문제를 반복해서 틀리는 경우가 많은데 정확한 개념을 앎과 더불어 오답노트를 만들어 다시 한번 점검하는 필요합니다. 나중에는 자신이 약점을 명확하게 알 수 있습니다. 자신없는 부분은 공부하기도 싫어지고 문제가 나와도 움츠러들기 마련입니다. 일단 자신이 어느 부분에서 약한지를 정확하게 파악해서그것을 정복하기 위해 꾸준히 노력해야 합니다.
9. 시험 때 실수하는 경우는요?
평상시는 잘하는데 시험을 보면 실수로 틀렸다는 말을 자주 듣습니다.
누구나 시험을 볼 때 긴장합니다. 누가 집중하고 실수를 줄이느냐, 자신이 알고 있는 것을 100% 발휘하느냐? 하는 것이 중요하겠죠. 전 이렇게 권합니다. 2-3 문제는 고 난이도 일수밖에 없고, 내가 힘들면 남도 힘들다. 그러므로 내가 알고 있는 문제는 실수하지 말고 고 난이도는 편한 마음으로 풀면 고득점이 가능합니다. 욕심이 지나치면 더 긴장하여 제 실력을 발휘하기 힘든 것은 당연합니다.
10. 낯선 문제는 어떻게 할까?
수학에서 어려운 것은 낯선 문제에 직면했을 때입니다. 이때 당황하지 말고 다음의 방법으로 해결하면 많은 도움이 됩니다. 즉 문제를 푸는 습관을 바르게 갖는 것이 중요합니다.
첫째, 주어진 문제에서 조건이나 핵심적 열쇠를 찾아라.
둘째, 주어진 문제를 그림이나 자기가 알고있는 상황으로 표현해 보자.
셋째, 출제자의 입장에서 문제의도를 생각해보자.
많은 학생들이 여기 저기 어지럽게 문제를 풀어 나갑니다. 복잡한 계산과정에서는 흘려 쓰는 숫자조차도 혼선을 일으켜 결정적인 실수를 할 수도 있고, 나중에 검토 할 때도 틀린 곳을 찾기도 불편합니다.
11. 피드백과 복습의 중요성.
많은 문제를 풀기보다는 개념이나 원리를 확실히 알기 위해서 한 문제 한 문제를 되돌아봐야 합니다. 이때 틀린 문제의 해설을 보거나 어떤 개념이 사용되었는지 점검하고, 2 - 3명이 틀린 문제를 토론해 보고, 다른 학생에게 설명해 보면 자신이 알고 있다는 문제도 막히는 것을 통해 정확하게 알고 있는지 확인됩니다.
수학을 풀거나 설명할 때, 그림으로 설명하는 것이 좋습니다. 사소한 일이라도 그림으로 그리게 한다면 수학문제를 이해하는데 도움이 됩니다. 서울대생들이 경험담을 쓴 "수학성적 30점 더 올리기"에 "한 문제를 100%알면 점수가 되지만, 100문제를 70%씩 알면 빵점이다."는 시사하는 바가 큽니다. 학원이나 과외에서 많은 문제를 풀어 90%를 맞았다고 잘한다고 생각하는 것은 나중에 수능이나 대학 공부에는 큰 손해를 보게 되는 것입니다.
독일의 심리학자 에빙하우스는 [기억에 관해서(1885)]라는 매우 흥미있는 책에 시간에 따른 기억력의 변화’의하면 인간은 20분 후에는 배운 것 중 의 1/2을, 하루가 지나면 2/3 정도를 잊어버린다고 합니다. 2일 후에는 69%, 15일 후에는 75%, 한 달 후에는 배운 내용의 22% 정도에 불과한 내용 밖에 기억하지 못한다는 결론입니다.
그러나 일단 배운 내용을 그 직후에 복습하고 또 그 후로도 정기적으로 복습한 사람은 80% 정도는 기억할 수 있다고 하니까 복습은 바로 바로!. 따라서, 자신의 실력을 올리는 것은 과외 공부가 아닌 적절한 복습의 습관 하나만으로도 유지될 수 있는 것입니다.
12. 초등, 중등 때 수학을 잘하던 학생이 고등 때 잘 못하는 이유가 뭘까요?
초때는 일반적으로 크게 어려움을 겪지 않다가 일반적으로 중, 고교를 기점으로 수학의 어려움을 호소하는 경우가 많습니다. 초등은 구체적인 수와 식을 이용한 계산과 사고력이면 충분히 잘 할 수 있습니다. 중등부터는 문자를 도입하고 증명을 통해 수학을 설명하기 시작하는데 이때 정확하게 이해 못하므로 어려움을 느낍니다. 예 초등은 2*()=5, 중학생은 2*x=5, 고등학생은 ax=b등으로 문자를 사용하는 정도가 더 높아지는 것을 이해해야 합니다. .
13. 어렸을 때는 못했지만 중, 고등 때 잘 할 수 있나요?
결론부터 말씀드리면 제 경험으론 얼마든지 가능하다는 것입니다. 수학을 못하는 대부분의 학생을 보면 기초가 부족해서가 아니라 수학 공부 방법에 문제가 있기 때문입니다. 수학에 재미를 알면 오히려 수학 공부 그만좀 하라고 말리게 됩니다.
김 군은 서울 인문계를 갈 실력이 안 돼 정원미달인 행신고로 왔습니다. 고1 3월부터 초, 중등수학을 다시 시작했는데, 처음에 한 문제에 30분을 쓰는 정도로 힘들었죠. 처음엔 이러다 말겠지 했는대 점점 수학에 흥미를 갖더니 6개월 후에는 고3 누나보다 더 열심히 한다고 하더군요.
입학때 뒤로 몇 번이 1학년 말에는 수학은 전교 10위 정도였고, 고3때 같은 학교 학생을 통해 들은 말은 별명이 "수학에 미친놈" 이라더군요. 이 학생 때문에 일산으로 오게 되었구요. 정발고 2학년이던 구 군은 1학년 내신이 60점대 였는대 고2 과외로 4번 모두 100점. 현 무원고 2년 백군은 30점대 였는대 내신은 90점 이상입니다.
다만 한가지 수능처럼 범위가 넓고 깊은 수학을 요구하는 시험에는 단기간 성적 상승이 어려운 것도 사실입니다. 백신고를 졸업하고 미국유학간 김 양은 수능 45점에서 75점으로, 올해 백신고 졸업하는 김 양도 20점이상의 점수가 올랐습니다. 백석중을 졸업하고 미국으로 유학간 이 군은 k학원 다니면서 수학에 거부감을 갖게 되었답니다.
너무나 많은 학습분량과 반복학습이 원인이었습니다. 제가 위에서 말씀드린 방법으로 지도한 후 에는 자칭 수학 천재라 하면서 유학을 갔습니다.
14. 선행학습에 장단점.
많은 부모님들은 방학중에 한 학기나 1-2학년 미리 배우기를 선행학습으로 생각합니다. 장점으로는 미리 개념을 정리하고 문제를 풀어봄으로서 내신에 유리하다고 생각합니다. 단점으로는 미리 배웠으므로 학교수업에 소홀하다는 것입니다. 전 이와 다르게 선행학습이란 미리 배우기가 아닌 준비학습, 즉 앞으로 배워야 할 내용에 대한 다양성을 확보하기 위해 수학관련 책을 읽고 수학적 사고력과 시야를 넓히는 것으로 인식을 바꾸어야 한다고 봅니다.
교과서를 미리 배워 수업, 흥미를 잃고, 깊이, 정확하게 알지 못하고 많은 문제를 푸는 것이 선행학습이라면 오히려 깊이있는 공부에 득보다 실이 더 많다고 봅니다. 서울과고때 국제 수학 올림피아드에서 2년 연속 금상을, 서울대 수학과에서 3년 대학생 경시 일등을 한 한린 군은 초, 중등때 아버지에게 고등수학을, 고교는 대학교재, 수학관련 다양한 책으로 공부하고요. 이런 경우는 선행학습이 성공적입니다. 그러나 대부분은 수학은 어렵구나 하는 선입감만 가지고 있더군요. 저는 선행학습은 필요하고, 다음과 같은 방법을 추천하고자 합니다.
중학생 상위권은 중학범위와 겹치는 내용을 고등학교와 같이 병행해야 효과가 있다는 것입니다. 중 3과정과 10-가, 나 과정은 복소수를 빼고는 거의 유사합니다. 특히 외고나 과고를 준비하는 경우는 이와 더불어 "교실 밖 수학교실이나 혼자 크는 수학" 등의 교과서 밖의 공부가 꼭 필요합니다. 과학동아나 뉴톤, 중학 독서평설 같은 월간지를 꾸준히 보면서 흐름을 알아두는 것도 상당히 중요합니다.
중위권은 한 학기 선행 즉 개념을 정확하게 정립하고 내신에 대한 자신을 갖도록 쉬운 교재로 방학을 이용하는 것입니다. 하위권은 한 학기 선행과 이전에 배운 것을 복습하는것으로 공부하는 것입니다.
아래의 기사는 많은 것을 시사하고 있습니다.
모 제자의 글 -
일단 저는 집안에 외동아들로 태어나서 학원이란 많은 연습단체를 들락 날락 거렸습니다..하지만 그 때의 공부를 했던 것이 제게 도움이 되었던 것 일까 하는 생각은 해 본 적이 없네요^^ 그 당시는 원래 부모님 말씀을 항상 따랐을 뿐이고 그냥.. 수동적인 삶을 살았으니까요^^
솔직히 .. 어릴때.. 더하기 빼기를 학원에서 배운 다는 거 자체가 저는 상식 밖이라구 생각합니다. 지금 제가 가장 후회하는게 폭 넓은 지식과 사고방식을 키우지 못한것이 후회 됩니다.. 제가 생각하는 어릴 때 다니는 학원은 그다지 많은 이점을 주지 못한다고 생각하거든요
하옇튼 이건 제 생각이지만~ (다른 사람에게는 몰라도.. ^^)
어릴때는.. 강동민 선생님 말대로 책을 많이 봐야 되는게 좋다구 봐요^^
아마 그때 선생님께서 저한테 책 봐라~ 책 봐라~ 정말 말 많이 하셨을 거에여^^ 그런데 ㅡㅡ; 전 글 보는거 진짜 시러해서여^^ 이렇게 늙어서(?) 후회하네여^^
그래서 학교 도서관두 그냥 들락 날락 하구 .. 책이랑 가까워 질려구
노력하구 있답니다...^^ 책을 봅시다!!!!!!!!
저는 수학에 중학교때 부터 눈을 뜬거 같습니다..
중학교때 과고나 외고를 가기 위한 수학 교육을 강동민 선생님께 받았는데요.. 그당시 'A급 수학' 과 '하이레벨' 이라는 중학교 수준보다 높은 수학을 접했습니다.. 그리고 한 학년 높은 형들과 수업을 들은 기억이 있습니다..
저는 지금 그 때 그 수학공부를 한거에 대한것과 그런 지도를 주신 선생님께 정말 감사 드립니다.. 그 당시 그런 수업이 제게 더 넓은 사고 방식을 가져왔고 고등학교 가서도 수학에 대한 자신감과 정말 좋은 것을 얻었기 때문입니다..
중학교때의 그런 한 단계 높은 교육 과정도 중요하다고 봅니다..
하지만 그 사람의 수준에 맞추는 것도 중요하겠지요^^;;
그리고 고등학교때.. 저는 항상 그 해가 지나가기 전 다음학기의 수업량을 다 공부해서 준비를 해놨었습니다.. 그것도 매우 중요했겠지요^^
그렇게 하니까 고2 막판이 되니 수능준비를 약간 끝낼 수 있었습니다.
그리고 그 당시 저는 수학을 즐길 뿐이었습니다...
KMC(등급 : 2A ㅡㅡ;)에도 출전해보고. 일본 국비 시험에도 응시하고.. 수학이 있는 곳이면 다 접근해 보았습니다.. 단지 수학을 즐길 뿐이었어요^^
다른 친구들은.. 싫다고 하고.. 저를 이상하게 보더군요 ㅡㅡ; 흐흐
수리 I 영역은 정말 쉽다고들 하지요.. ^^
하지만 아무리 쉬워도 자신에 대한 믿음과 그것에 도전하려는 정신이 없다면 어려워 질 수 밖에 없는게 수학이라고 생각해요^^
저도 비록 마지막 결전의 날에 .. 수많은 실수를 해서 한순간의 노력을 헛되이 했지만 후회는 없답니다^^ 저는 수학을 좋아했고.. 아직도 수학을 좋아하며~ 앞으로 수학과에 들어가서 전공을 할거니까요^^ (참고: 고려대 수학과 2년입니다)
수학은 자신감과 자신의 노력의 결실이라고 생각해요~
많은 문제를 풀어보는 것도 좋지만.. 틀린건.. 오답노트나 그런 걸로 확실히 푸는게 좋으니까요^^ 틀린건 확실히 알아야죠~ 수학시험은 다 싸이클이 있으니까요~
7차 교육과정에 따른 수학 공부
7차 교육과정은 단계별 학습이므로 이전단계에서 부족한 부분을 학생스스로 공부해야 하는 단점이있습니다. 교과과정에서는 반복되는 부분이 없다고 생각하시면 됩니다.
즉 이전 단원을 모르면 다음 단원이 힘들어 진다는 것입니다. 10단계까지는 국민공통과정이므로 11단계에서 심화학습이 이루어 지고 수능에서도 심화단계에서 직접 출제되는것이 원칙입니다. 따라서 학생들이 느끼는 체험적 난이도는 더 높아진다고 확신합니다.
수능배점에서도 6차(언어 120, 수리 80, 외국어 80, 사탐과탐 120)와 달리 7차는 (언어, 수리, 외국어 100, 사탐, 과탐 과목별 50)으로 수리, 외국어, 사,과탐 비중이 커졌습니다. 자신이 지망하고자 하는 대학별, 전공이 요구하는 영역을 미리 선택하고 준비하는 것이 7차에서는 가장 중요합니다.
예를 들면 인문, 사회계열은 수리 나형(수1 100% 출제)이나 자연, 공학, 의학계열은 수리 가형( 수1 40%, 수2 40%, 선택(미적분, 확률통계, 이산수학) 20%)입니다. 따라서 기존 이과계열은 수학이 비중이 더욱 커졌습니다.
더구나 배점이 30문항 80점에서 100점으로 확대됨으로 문항당 차가 더욱 확대되어 합격에 결정적 역할을 할 것입니다.
그러나 영역별 배점이 현재 언어 120점, 수리 80점, 외국어 80점에서 3개 영역 모두 100점(원점수 기준)으로 바뀌기 때문에 언어의 비중이 상대적으로 줄어들고 수리와 외국어가 중요해졌다.
특히 수리는 배점이 늘어난 데다 주관식 출제 비율이 20%(6문항)에서 30%(9문항)로 증가했고 문항당 배점이 1∼4점으로 수험생 개인에 따라 체감 난이도가 높아질 것으로 보인다. 또 수리 ‘나’형의 경우 상대적으로 쉬운 공통수학이 출제 범위에서 제외돼 상당히 어려워질 가능성이 높다.
2003학년도 수능성적 자료를 2005학년도 방식에 대입해 분석한 결과 문항당 점수의 중요도는 수리 4점, 과학탐구 3.35점, 사회탐구 3.25점, 외국어 2.4점, 언어 2.2점으로 수리영역이 가장 높았다. 수리에서 한 문제를 틀릴 경우 언어 두 문제를 맞혀야 만회가 될 정도로 수리의 난이도가 높기 때문에 수리에서 고득점을 받는 학생이 유리할 수밖에 없다.
▽사탐·과탐도 변수=이번 입시에서 탐구영역도 새로운 변수 중의 하나다. 사회탐구, 과학탐구, 새로 신설된 직업탐구 중에서 하나만 선택하면 돼 부담이 줄어든 것처럼 보이지만 배점이 120점에서 200점(최대 4과목까지 선택 가능)으로 늘어나 부담이 될 수밖에 없다.
또 출제범위가 공통사회나 공통과학 수준이 아니라 2, 3학년 때 배우는 심화과정에서 나오기 때문에 어려워질 가능성이 있다.
물론 각 대학이 탐구영역 200점이 다른 영역의 점수에 비해 높기 때문에 이를 그대로 반영하지 않고 역가중치를 주더라도 전체 수능에서 차지하는 비중은 언어 수리 등과 엇비슷할 것이라는 전망이다
수학은 왜 배우는가? 왜 문제를 푸는가
수학 교과서나 참고서를 펼쳐 보자. 많은 부분이 "예제", "문제(유제)", "연습문제" 등으로 이루어져 있다. 실제로 학교에서 수학을 공부할 때도 대부분의 시간을 이런 "문제" 들과 씨름하게 된다. 그래서 학생들은 흔히 수학공부는 곧 문제풀이라는 인식을 갖고 있다. 정말 그런 것인가? 어떤 사람은 문제풀이만 반복하는 것이 아주 나쁜 공부 방법이라고 말하는데 그것도 정말 그런 것인가?
진짜문제와 연습문제
어떤 문제가 주어졌다고 하자. 지금까지 같은 형태의 문제를 본 적이 없다면, 가지고 있는 지식을 창의적으로 적용하여 풀어야 한다. 이것을 '진짜문제' 라고 부르자. 수학자들은 말하자면 지금까지 그 누구도 풀지 못했던 문제들을 풀려고 노력하는 것이므로 그들의 문제는 모두 진짜문제이다.
다른 학문이나 산업, 일상 생활에서도 무엇인가 의문을 갖고 해답을 구하는 경우가 많은데 이것도 '진짜문제' 라고 할 수 있다. 반면, 이미 풀이법을 알고 있는 상태에서 그야말로 '숫자만' 바꾸거나, 약간의 변형만이 가해진 문제라면 우리는 이미 알고 있는 풀이법을 그대로 적용하기만 하면 되며 이런 문제는 그 풀이법을 반복 숙달하기 위해 사용된다. 이것을 '연습문제' 라고 부르자. 영어로는 '문제'를 problem 이라고 하지만 연습문제는 특히 drill 이라고 불러 구별하는 경우가 있다.
'진짜문제'의 중요성
수학을 배우는 목적은 바로 문제를 해결할 수 있는 능력을 기르기 위해서라고 할 수 있다. 그런데 여기서의 문제는 물론 '진짜문제' 이다. 즉, 지금까지 본 적이 없는 문제가 주어졌을 때, 가지고 있는 지식을 짜맞추고 자기나름대로의 풀이 방법을 창조해 낼 수 있는 능력 - 그것을 얻고자 하는 것이다. 그래서 수학을 공부할 때 풀이 방법을 모르는 도전적인 문제를 해결하면서 그 풀이 방법을 창조 (또는 발견) 해 내는 경험은 무엇보다 중요하다. 그런 경험을 통해 수학적 능력(사고력)을 키울 수 있고 수학, 더 나아가서 공부한다는 것에 대한 긍정적인 태도를 가질 수도 있는 것이다.
교과서나 참고서에서 '진짜문제' 가 될 수 있는 것들은 대개 '예제' 라는 이름이 붙어 있고 그 아래에 풀이가 나와 있다. 안타깝게도 많은 학생들은 예제를 읽고 나서 곧 그 풀이를 읽으며 그럼으로써 몇 안되는 '진짜문제' 를 풀 수 있는 기회를 스스로 놓쳐버리고 있다. 수학 공부를 잘 하고 싶은가? 그렇다면 '예제' 의 풀이를 보지 말라.
몇시간, 며칠이 걸리더라도 스스로 해결하라. 그 전에 나와 있는 해설 같은 것은 물론 보아도 된다. 그러나 풀이를 읽는 순간 진짜문제를 해결할 수 있는 소중한 기회를 잃는 것이다. 그것은 남이 가르쳐 주는 대로 퍼즐을 맞추는 것에 비교할 수 있다. 퍼즐의 묘미는 스스로 해결하는 것이며, 수학 문제도 그렇다.
여러분이 이미 학교 공부를 끝낸 성인이고, 학교에서 수학을 싫어했던 기억이 있다면, 아마도 위에 말한 것과 같이 '진짜문제' 를 스스로 해결해 본 경험이 없었기 때문이었을 것이다. '진짜문제' 를 스스로 해결해 본 사람들은 수학을 싫어하려고 해도 그럴 수 없다.
'연습문제' 의 필요성
그렇다면, 풀이 방법을 이미 아는 문제인 '연습문제' 를 반복적으로 푸는 이유는 무엇인가? 그것은 한마디로 더 앞으로 나아가기 위해서이다. '연습문제' 의 최초의 예는 아마도 구구단 외우기일 것이다. 구구단을 못 외워도 6×7 같은 것은 계산할 수 있다. (그림을 그리던지 해서) 즉, 한자리수 곱셈으로 끝낼 것이였다면 구구단 외우기는 필요 없다.
그런데 두자리수, 세자리수의 곱셈, 더구나 나눗셈, 소인수분해, 식의 계산, 인수분해, 고차방정식의 풀이 등등을 공부하는 것은 구구단을 완전히 외우지 않는다면 불가능하다. 그래서 구구단을 반복 숙달하는 과정이 필요했던 것이다. '연습문제' 의 역할은 그런 것이다. 예를 들어 인수분해나 미분법 같은 것을 계속 반복하고 여러 형태를 다루어 보고 하여 그 '기능'을 숙달함으로써 그 다음 단계의 공부를 할 수 있게 되는 것이다.
따라서 연습문제를 반복해 푸는 것은 결코 나쁜 것이 아니고 그것을 하지 않고 수학 공부를 해 나갈 수도 없다. 하지만 그것을 수학공부의 전부로 생각하는 것은 잘못이다.
수학 공부란?
수천년간에 걸친 인류의 수리적, 논리적 사고의 기록인 수학을 다시금 우리가 공부하는 것은 앞으로 우리에게 수리적, 논리적으로 해결해야 할 '문제' 가 주어졌을 때 그것을 해결할 힘을 얻기 위해서이다. 수학책에 나와 있는 '문제'들을 그런 목적에 맞게 사용해야 원하는 것을 얻을 수 있다.
남이 풀어 놓은 것을 보고 비슷한 유형의 문제가 나올 때 적용시키는 방식으로는 결코 진정한 공부가 될 수 없으며 그것은 빠른 시간 안에 시험점수를 올리기 위해 사용하는 가장 괴로운 공부 방법이다. (그렇게 하면 괴롭다는 것은 많은 학생들이 경험했거나 하고 있을 것이다.) 남의 풀이를 보지 말라. 스스로 풀이를 발견하라.
그러나 이틀 동안 밤낮으로 그것만 생각했는데도 풀리지 않으면 그 때는 할 수 없이 풀이를 보라. (포기의 기준이 적어도 이틀은 되어야 하는데 대개의 학생의 경우 채 2 분이 안된다는 것이 안타깝다.) 처음에는 힘들지만 나중에는 즐겁게 할 수 있게 되므로 결코 힘들지 않을 것이다. 무엇보다도, 그래야만 문제를 해결할 수 있는 능력 (수학적 사고력) 을 얻을 수 있다.
우리의 삶은 어쩌면 '진짜문제' 들을 해결하는 과정의 연속인지도 모른다. 특히 학문적이거나 전문적인 문제들을 해결하는 데는 수학적 사고력이 필수적인 경우가 많다. 수학책에 나오는 문제들을 더 이상 우리를 시험하거나 괴롭히는 괴물들로 생각하지 말자. 괴로움을 당했다면, 그것은 잘못 사용했기 때문이다. 문제들이 거기에 있는 이유는 우리의 정신을 갈고 닦아 우리의 삶에서 부딪칠 더 많은 '진짜문제'들을 해결할 수 있게 하기 위해서인 것이다. /송영준
수학을 배워서 어디에다 쓰나
기원전 3세기경 이탈리아 시칠리섬의 시라쿠사에는 아르키메데스(287-212 B.C.)라는 유명한 학자가 살았다. 그는 임금인 히에론에게 수학을 가르치곤 했다. 하루는 임금님이 그에게 “수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”라고 물었다.
아르키메데스는 친절하게도 예를 들어 지렛대와 도르래로 무거운 물체를 들 수 있는 것 등이 모두 수학적인 원리를 이용한 것임을 보였다. 또 포물선의 성질을 이용한 포물거울로 햇빛을 모아 로마함대를 무찌를 수 있었던 것도 수학의 덕분이라고 덧붙였다. 하지만 아르키메데스 자신은 수학의 쓰임보다도 자연에 숨어 있는 섭리를 발견하는 것이 더 큰 즐거움이었다. 지금도 “수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”라고 묻는 사람들이 많다. 역사적으로 볼 때 수학은 인류 최초의 학문이다. 고대 그리스 시대에 수학은 곧 철학이었다. 화음이론, 원근법, 투시도, 측량, 천체 관측 등 모든 것이 수학에서 비롯됐다.
현대 사람들이 추구하는 문제 가운데는 “가장 적합한 것을 구하는 것”이 많다. 어떤 상품을 개발할 때 최대 이윤을 남기도록 하는 것에서 인공위성을 설계할 때 발생하는 문제들이 대부분 수학적으로 해결된다. 과거에는 아무렇게나 만들어도 작동하던 것들이 과학과 기술이 발전하면 할수록 점점 더 효율적이고 적합한 것들을 추구하기 때문이다. 한마디로 수학을 떼 놓고는 제대로 할 수 있는 일이 없다고 보면 된다. 이제 인류 최초의 학문이면서 인류 최후의 학문으로 불리는 수학이 걸어온 길을 살펴보기로 하자.
학문 탄생의 산파
고대 그리스의 수학자들은 길이 재는 법을 가르쳐 줬고, 삼각형의 성질을 이용해 강을 건너지 않고도 강 너비를 알 수 있게 해줬으며, 산에 오르지 않고도 산의 높이를 알 수 있도록 했다. 달에 가 보지 않고도 달까지의 거리를 쟀다. 고대 학문의 중심지였던 알렉산드리아 도서관 관장이었던 에라토스테네스는 삼각형의 성질을 이용해 하짓날 정오에 만들어지는 막대기의 그림자를 보고 지구의 크기까지 측정했다. 또 수학자들은 천체의 운동을 관측하면서 시각을 알려줬다. 일년은 3백65일이며, 한바퀴 돌면 3백60도이고, 일년은 12달, 하루는 24시간, 1분 60초라는 것 등이 모두 수학자 덕분이라는 얘기다.
뿐만 아니라 수학자들은 기하학을 바탕으로 땅의 넓이를 재는 법도 알려줬다. 이것은 가을에 곡식을 얼마나 거둘 수 있는가를 예측하게 해주었으며, 국가로서는 세금을 걷는 근거가 됐다. 홍수로 강이 범람해 누구 땅인지 구별하기 어려울 때에도 해결책을 제시했다. 또 수학자들은 그리스의 파르테논 신전이나 이집트의 피라미드를 설계할 때 아름다운 황금비를 제안했으며, 필요한 돌의 양을 미리 알려줬다.
1천5백여년이 지나 지구가 둥글다는 것을 발견하고, 태양을 도는 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견한 케플러(1571-1630)의 업적도 그리스의 기하학이 없었다면 이루어지지 못했을 것이다. 이처럼 수학은 시대마다 새로운 학문을 탄생시켰고 미래에도 그러할 것으로 예상된다.
과학을 인도하다
양자역학과 입자물리학에도 군론과 복소수이론, 확률론은 그대로 이용된다. 19세기 초 프랑스의 갈루아(1811-1832)는 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하지 않는 이유를 ‘대칭성이론’을 도입해 완벽하게 해결했다. 이 이론은 20세기초에 군론(group theory), 체론(field theory), 표현론(repre-sentation theory)으로 크게 발전했다. 현재 군이론은 통신을 할 때 잡음이 들어가는 것을 수정하는 방법(error correcting code)에, 또는 일부러 잡음을 넣어 보안에 신경을 쓰고자 할 때도 쓰인다.
20세기 수학자들은 ‘유한군론과 리군(Lie group)론’을 통해 자연과 사회 및 인간의 마음에 존재하는 모든 대칭성을 찾아 그것들에 대한 도표를 만들기 시작했다. 이것은 4차원 공간이나 그 이상을 설명하고 나아가 물질의 본질을 규명하는 기본 원리로 쓰였다. 과학자들이 자연세계의 본질을 파헤치기 위해 찾으려고 했던 소립자들을 물질이라기보다 ‘대칭성의 표현’이라고 하는 것도 같은 맥락이다.
신용카드에서 디지털 혁명까지
최근에 물리학의 양자장론과 끈이론(string theory)에서도 19세기말부터 출발해 20세기말에 매듭이론(knot theory)으로 크게 발전한 위상수학(位相數學, topology)이라는 학문이 크게 쓰이고 있다.
현대 수학에서 빼놓을 수 없는 것이 암호이론과 게임이론이다. 암호이론과 관련해 튜링(1912-1954)은 2차세계대전 당시 독일군의 암호를 해독해 영국을 전쟁에서 승리하도록 도움을 준 것으로 유명하다. 또 20세기 경제학과 정치학, 외교학 발전에 크게 기여한 게임이론은 독일 수학자 폰노이만(1903-1957)의 작품이다. 물론 튜링과 폰노이만은 컴퓨터를 발명한 장본인들이기도 하다. 컴퓨터가 오늘날처럼 발전하게 된 데에는 여러 과학자들의 힘이 컸지만, 수학자들의 역할도 무시할 수 없다. 예를 들어 불(1815-1864)의 이진법 대수체계에 대한 이론은 1940년 이후 전기회로에 이용되면서 컴퓨터를 이진 회로로 동작하는 기계로 설계하도록 했다.
현재 전 세계에서 통용되는 ‘공개키 암호’ 의 원리도 군론과 소인수분해이론이 응용된 것이다. 이러한 이론은 현대사회에서 개인들이 신용카드를 쓰고, 은행예금을 인출하며, e메일을 주고받으며, 핸드폰을 사용하고, 기업이나 국방외교의 기밀을 보장하는데 유용하게 쓰인다.
미래시대를 대표하는 용어로 불리는 디지털 혁명도 수학과 함께 시작한다. 프랑스의 푸리에(1768-1830)의 이론에 따르면 모든 주기적인 현상은 sin이나 cos 등 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 이론은 1948년 미국의 벨 실험실(Bell Lab)의 섀논이라는 수학자의 논문 ‘통신의 수학적 이론’에 적용된다. 이 결과로 아날로그 통신 시대는 막을 내렸고 디지털 혁명을 가속시켰다. 현재 머리카락 굵기의 전선에 6백40만개 이상의 신호를 처리할 수 있게 된 것이 수학자들의 공로란 얘기다. 푸리에이론은 많은 용량의 음악을 담는 CD를 탄생시켰을 뿐 아니라 지구 반대편의 사람들과 얼굴을 보면서 통화하는 것까지 가능하게 만들었다.
날씨와 미분방정식
현대인의 생활과 가장 밀접한 관련을 맺고 있는 날씨도 수학을 빼고는 설자리가 없다. 태풍이 분다든지 비가 온다든지 하는 기상변화와, 지진이 일어나고 해류가 흐르는 것들을 분석하고 예측하기 위해서는 고도의 미분방정식을 잘 풀어야 하기 때문이다. 일기예보가 어려운 이유 중의 하나는 자료를 분석하고 설계하는 수학이 어렵기 때문이다.
미분방정식과 같은 수학은 국가의 경제에도 큰 영향을 미친다. 현재 미국이 누리는 호황은 금융호황이라고 불리는데 이것은 금융수학의 바탕에서나 이뤄질 수 있는 말이다. 1973년 블랙과 숄츠 같은 수학자들은 미분방정식 이론이 금융시장에도 잘 적용되는 것을 발견했다. 금융시장의 흐름을 미분방정식을 통해 알 수 있다는 말이다. 뉴욕의 금융시장에서는 수천 명의 수학자들이 새로운 금융상품을 만들어낸다. 국민 연금이나, 퇴직금, 의료보험금 등 경제활동으로 파생되는 경영 문제와 기업평가 등은 수학자의 손에서 이뤄진다. 세계 경제의 흐름을 수학자들이 이끌어낸다고 말할 수 있다. 이렇게 현대 수학은 과학은 물론 경제분야와 일상 생활 전반에 깊게 관여하고 있다.
수학은 이공계로 갈 사람들만 공부하면 될 것이라고 생각한다면, 이것은 큰 오해다. 수학은 사람의 마음을 종합적으로 훈련시키는 학문이다. 단순히 과학을 배우기 위한 도구가 아니라 바르게 생각하고 바르게 표현하는 방법을 제공하는 언어다. 수학이 비록 실생활에 많은 도움을 주는 면이 많다 하더라도, 눈에 보이는 쓰임에만 중요성을 강조하는 것은 옳지 않다. 금전이 쓰임이 많아도 그 자체가 목적이 아닌 것과 마찬가지이다. 사람의 몸과 마음이 둘이 아니듯이, 이론과 실용도 둘이 아니다.
글을 잘 쓰려면 수학을 잘해야 한다
글을 잘 쓰려면 수학을 잘해야 하는가? 한국에선 이 질문을 하지 않는다. 한국에 있을 때 나 자신이 한번도 들어 보지 못했던 질문이다. 그런데 많은 프랑스인들이 이 질문을 던지고 있고, 또 이 질문에 대하여 아주 자신있게 "그렇다"고 대답하고 있다. 즉 글쓰기와 수학 사이에는 아주 밀접한 연관관계가 있어서 글을 잘 쓰려면 수학을 잘해야 한다는 것이다. 수학 교사와 교수들이 이 주장을 펴고 있고, 문필가로 활동하는 사람들도 이 주장에 많이 동의하고 있다.
이 주장은 당연히 수학에 자신이 없어서 이과를 지망하지 못하고 문과를 선택한 수많은 사람들을 실망시키고 있다. 그들은 이렇게 볼멘 소리를 한다. "초등학교 때부터 수학 때문에 계속 설움을 받아왔고 또 수학 때문에 문과를 지망했는데 글쓰기도 잘 못할 것이라고 하니, 그렇다면 앞으로 우리가 잘할 수 있는 일은 무엇이란 말이냐?" 라고. 나는 프랑스의 수학 중시 교육에 대하여 잘 알고 있기 때문에, 그들의 울분에 찬 항변을 충분히 이해할 수 있다.
프랑스의 전 교육과정에서 수학은 단연 으뜸되는 과목으로 취급 받고 있다. 이과에선 말할 것도 없고 문과에서도 수학은 다른 과목, 예컨대 영어보다 훨씬 더 중요시된다. 수학 중시는 바칼로레아(대학 입학자격시험)에서도 반영되어, 이과에서는 수학의 배점이 영어의 세 배에 이르고 문과에서도 수학은 철학, 프랑스어와 함께 높은 배점이 적용되고 있다. 그런데 다른 과목은 모두 논술로 시험을 치르는 것과 달리, 수학은 정밀과학이므로 학생 사이에 점수 차이가 가장 많이 난다.
수학 실력이 경쟁시험 등에서 중요한 관건이 되는 것은 아주 당연하다. 특히 그랑제콜(수재학교)에 입학하려면 우선 수학 실력이 뛰어나지 않으면 안 된다. 공부를 잘하는가 못하는가의 구분이 수학으로 결정된다고까지 말할 수 있다.
한편 수학 실력도 부족하고 철학에도 뛰어나지 않은 평범한 학생들이 가는 분야 중에 법률학이 포함된다. 가장 뛰어난 문과 학생들의 대부분이 법학을 지망하고 있는 한국의 현실과 상반되는 점이다. 예외가 없는 것은 아니지만, 프랑스에서 우수한 학생이 법률학을 택하지 않는 이유는 판검사, 변호사, 공증인 등의 법률종사자란 다만 기존의 법을 적용하기만 하는, 비창조적이고 비생산적인 기생집단이라는 생각이 프랑스 사회에 널리 퍼져 있기 때문이다.
어쨌든 프랑스에서 법률종사자가 되려는 사람들은 수학과 글쓰기의 관계에 대하여 별 관심이 없다. 반면에 수학 실력은 떨어지나 철학이나 기타 인문과학 분야에 자신이 있어서 문과를 선택한 사람들, 그 중에서도 문필가가 되겠다는 꿈을 가진 사람들은 당연히 수학과 글쓰기사이의 연관관계 주장에 대하여 괸심이 많고, 또 연관이 있다는 주장에 반론을 펴기도한다.
토론은 주로 글쓰기에 필요한 논리력, 추리력, 분석력, 정확성의 추구들이 수학교육을 통하여 알게 모르게 길러진다는 주장과, 수학적인 차가운 논리가 오히려 창조적 감성이나 미적 상상력을 해칠 수 있다는 반론 사이에 벌어진다. 반론자들은 하나의 좋은 예로 괴테를 내세운다. 독일의 으뜸가는 시인인 괴테가 수학에는 아주 뒤떨어졌다는 것이다.
그런데 이 토론에는 한 가지 흥미있는 재치응답이 있다. 반론자가 논리 정연하게 그리고 예를 들어가며 수학과 글쓰기 사이에는 아무 관련이 없다고 주장할라치면, 상대방이 "당신이 그렇게 반론을 펼칠수 있는 것도 실은 수학을 배웠기 때문"이라고 응수하는 것이다. 이응수가 언뜻 보면 순환논리인 듯하지만 일리있는 주장이라고 생각한다. 그래서 나는 글쓰기 중에서 시나 희곡 등은 수학과 크게 관련되지 않는다 해도, 특히 평론만은 수학이 요구하는 정확성과 추구정신이 필요하다고 믿고 있다.
올바른 평론을 쓰자면, 관계된 사실을 정확히 파악하고 또 그 사실이 나오게 된 배경과 앞으로의 전망 등을 정확히 짚어낼 수 있어야 가능하다. 즉 정확성이 요구된다. 그러나 그것만으로는 부족하다. 겉으로 드러나지 않은 사실, 굴절되어 나타난 사실, 미로(迷路)처럼 꼬인 사실 등을 정확성의 무기만으로 접근하면 자칫 자기함정에 빠져 정확치 않은 것을 정확하다고 믿어버리는 일이 생기기 쉽다. 드러난 빙산의 일각을 정확히 묘사하고 모든 것을 알아냈다고 믿는 것과 같다.
"파도만 보지 말고 조류(潮流)의 흐름을 보라." 페르낭 브로델의 말이다. 우리는 흔히 파도만 보고 바다를 보았다고 말한다. 예를 들어 노사정위원회, 코보소 사태 등에서 드러난 사실을 아무리 정확하게 파악해도 속에 감추어진 본질까지 정확히 파악하기는 어려운 것이다. 그러므로 항상 의문을 던지고 확인하는 자세가 필요하다.
수학은 예컨대, "삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다."라는 사실에 결코 만족하지 않는다. 분명히 정확한 사실임에도 그렇다. 왜 만나는가? 또는 왜 만날 수밖에 없는가? 하는 것이 더 중요하다. 수학에서는 증명되지 않는 사실은 '정리(定理)'가 될 수 없고 다만 가설로 남을 뿐이다. 평론이 정확성 이외에 수학에서 배워야 하는 게 바로 증명될 때까지 끊임없이 회의하고 추구하는 정신이라고 생각한다
쁜맘 
[펌] 중학 수학 공부 방법론
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정말 무한 감사드립니다...