쑥쑥몰
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중등 KMO 최근 문제중에서 3문제를 풀어 봅니다. 1번과 2번 문제 그리고 18번 문제입니다. 도형을 인터넷에 제가 그릴 수가 없어서 이렇게 세 문제를 골라 보았습니다. 교과서 열심히 했는데 왜 않풀리느냐 하면 밑에 문제들을 괴물 취급하면서 보지 않고 풀어 보지 않고 생각하지 않기 때문입니다. 문제집들의 문제풀이에 급하기 때문에 몇 분의 시간적 여유가 없는 것입니다. 별 필요없다고 생각하시는 분들과 쓰레기 같다고 생각하시는 분들의 의견도 저는 존중합니다. 중등 수학 올림피아드에 관심을 가지신 분들은 한번 풀어 보시기 바랍니다. 국어실력 부족으로 수학을 못한다고 생각하시는 분들도 있습니다.ㅋㅋ
저는 깔끔하게 정확하게 풀리고 생각하게 하는 좋은 문제들이라고 생각됩니다. 올림피아드 문제 ( KMO, AMC. AIME, IMO, Putnam 유형 )들이 깊은 사고력 향상에 크게 도움이 된다고 저는 생각합니다. 부모가 좀 풀어 보고 가르치는 것이 좋다고 생각하는데 "나는 불가능하다" 라는 정신으로는 절대 할 수가 없습니다. 부모님들이 "전체를 이런 부분이구나" 하는 정도 알고 문제제공을 하시면 아이 스스로도 접근할 수 있다는데에 믿음을 가지고 있습니다. 수학 문제를 푸는 것은 즐거워야 하는데 괴롭고 아이 잡는다 라는 방식의 사고로는 올림피아드에 접근할 수가 없다고 생각합니다. 초중등에서 수학 교육 시간을 최소화시키기 위한 방도를 마련하기 위해서 다양한 문제유형들을 보았습니다. 역시 저는 KMO, IMO, PUTNAM유형의 문제들이 좋은 문제라는 결론을 내리게 되었습니다. 물론 저만의 주장입니다.
1. 다음 방정식과 부등식을 모두 만족시키는 x 의 최솟값을 구하시오. ( 단, x,y,z,w 는 모두 정수이다. )
3x + y + z+ w = 2008, 0 <= w <= z <=y<=x
풀이) x=y=z=w 라고 가정하자. 그러면 x = 2008/6=334.66666......이다. 2008 이상의 수 중에서 6의 배수인
최소의 정수는 2010 이다. 2010/6=335 임으로 x 와 y 에 큰 값인 335를 z 와 w 에 334 를 대입하면 부등식과
방정식을 모두 만족한다. 그러므로 답은 335 이다.
사고력 합차산에서 문제를 해결할때 같거나 임의의 수로 가정을 하지요? 어느 저자는 우기기 문제라고도 합니다. 초등에서 부정방정식에 개념은 나오지 않지만 유사한 문제들은 많이 나옵니다. 그리고 위의 문제가 유전자 문제로 인하여 풀지 못할 문제라고는 생각지 않습니다. 풀어 보지도 않고 보지도 않으면 절대 못 풀게 됩니다. 뼈대를 세우고자 하시면
예제 )
두 수의 합이 27일때 가능한 두 자연수를 구하라 혹은 가능한 두 양의 정수를 구하라 를 다른 표현으로 하면 x,y 를 양의 정수라할때 방정식 x+y=27 일때 가능한 x 와 y 의 쌍을 나열하라. 나열된 x 와 y의 순서쌍에서 x 와 y 의 값이 같을 수 있는가? 차이가 1 이 나는 순서쌍을 찾아 보아라 등으로 시작을 해야 하지 않나 생각됩니다. 한단계 더 나아가서 부등식의 개념을 설명하고 3x + y =27, y<=x 일때 x 값의 최솟값을 구하라 하는 식으로 최솟값,최댓값의 개념과 존재유무관계를 생각해보면 좋지 않을까요.
2. 방정식 x^2-2x-1=0의 두 근을 a,b 라 할때 a^5+b^5 을 구하라.
풀이) a^5+b^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-(ab)^2(a+b) 에서 a+b=2 이고 ab=-1 이기 때문에 계산하면 82 가 나오게 됩니다. 인수분해및 연산을 조금만 하는 아이들이면 풀기 쉬운 문제입니다. 흔하게 존재하는 수학 문제 아닌지요. 뼈대를 세우고자 한다면
약수, 배수, 소인수분해 배울때 소인수분해를 한 후에 인수들을 조합하는문제들을 연습하면 되겠지요. 인수,약수, 배수, 방정식, 해 등에 관한 개념을 확고하게 하면서 연산을 연습해야 뼈대가 튼튼하게 되지 않을까요.
18. 어떤 양의 정수 n 의 양의 약수의 개수는 6 개이고, 이 약수들의 합이 ( 3n+9)/2 이다. n 의 값을 구하시오.
풀이 ) 양의 약수의 개수가 6 이라는 것은 6=2x3 혹은 6=1x6 임으로 n=ab^2 혹은 n=a^5 의 꼴인데 후자는 대입해서 계산해 보면 만족하는 n 을 찾을 수 없고 전자는 대입해서 방정식을 세워서 해를 구해 보면 b=3 a=17 을 구할 수가 있다. 답은 153.
이것은 약수의 개수, 약수의 합, 등비수열, 부정방정식, 연산에 대한 연습으로 뼈대를 세워 놓으면 풀리지 않을까요?
예로써 24 의 약수의 개수를 구하고 약수의 합을 구하시오. 약수의 합을 소인수분해했을 때 소인수의 개수를 구하시오. 소인수중에 최댓값과 최솟값을 구하시오 등으로 뼈대를 세우면 좋지 않을까요? 하노이 탑 문제로 등비수열에 대한 사고력을 확장시켜 등비수열 합의 공식을 유도해 보면 좋겠습니다. 혹은 수막대기로 약수,배수에 대한 사고를 확대 해 볼 수도 있겠으며 최대공약수와 최소공배수를 이용하여 유사문제들을 접할 수 있다고 생각됩니다. 더불어 함수의 개수, 파스칼 삼각형과 방정식의 계수 문제, 다항 방정식 등을 다루어서 연산력에 의한 방정식 풀기와 정수론,함수론을 함께 적정 중등 수준에서 접하면 좋겠다 라는 저의 생각입니다.
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마지막으로 심호흡하시고 한 문제 더 풀어보세요.
문제의 이해를 돕기 위해서 ...학습을 하시고자 하시면 다음과 같이 해 보십시오. 정수론에 나오는 기초문제입니다. 유사한 문제들이 많이 나올 것이기 때문에 확실히 해 놓으실 필요가 있습니다. 하루가 아니라 일주일 정도 잡으시고 차근 차근 해 보십시오. 우선 소수, 인수, 소인수분해, 지수, 약수, 배수, 교집합, 합집합, 소수의 무한성, 소인수분해의 유일성 등으로 압축해서 주제를 정하고 접근해 보십시오.
1) 모든 수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있다. 소수를 100까지 아리토스테네스의 체를 이용하여 구해 봅니다.
2) 100,99,98,97.......5,4,3,2,1 을 소인수 분해해 봅니다. 아직 초등생이니 시간을 좀 투입해서 소인수분해 100번 정도 해 봅니다. 100까지 숫자들의 소인수 분해가 된 형태를 비교해 봅니다.
3) 100! 을 소인수분해해 봅니다. 혹은 소인수의 곱의 형태로 나타내는 과정을 상상해 봅니다.
100 ! = p1 ^a x p2 ^b x p3 ^c ......... ( 밑에 소인수 분해 참조하십시오.)
4) 소인수 분해의 유일성과 소수는 무한하다 라는 것을 증명해 봅니다. 이 부분이 하이라이트 입니다. 이것을 기억하고 있어야 이쪽 분야 문제가 술술 생각나서 풀리기 시작합니다.
5) 집합에서 교집합, 합집합 등에 대한 이해를 합니다.
소인수분해
[x]는 x를 넘지 않는 최대정수라고 하겠습니다.( 가우스 기호를 이용합니다.)
[100/2] +[100/4]+[100/8]+[100/16]+[100/32]+[100/64]
= 50+25+12+6+3+1 = 97개입니다.
3은
[100/3]+[100/9]+[100/27]+[100/81]
= 33+11+3+1 = 48개입니다.
5는 [100/5]+[100/25] = 20+4 = 24
7은 [100/7]+[100/49] = 14+2 = 16
11은 [100/11] = 9
13은 [100/13] = 7
17은 [100/17] = 6
19는 [100/19] = 5
23은 [100/23] = 4
29는 [100/29] = 3
31은 [100/31] = 3
37은 [100/37] = 2
41은 [100/41] = 2
43은 [100/43] = 2
47은 [100/47] = 2
나머지 소수들은 한개뿐입니다.
따라서 소인수 분해하면
2의 97제곱, 3의 48제곱........이런식으로 나옵니다.
악척같이 끝까지 계산을 합니다. 보통 잔머리 굴리면
이정도에서 포기하지만 수학의 자세는 끝까지 입니다.
100!=2^97 x 3^48 x 5^24 x 7 ^16 x 11^9 x 13^7 x 17^6 x 19^5 x 23^4 x 29^3 x 31 ^3 x 37^2 x41^2 x 43^2 x 47^2 x 51 x 53 x 59 x 61 x 67 x 71 x 73 x 79 x 83 x 89 x 97
문제) 1 에서 100까지 모두 곱한 수는
1) 11x13 으로 몇 번 나누어지는가?
2) 71x83으로 몇 번 나누어지는가?
3) 6으로 몇 번 나누어지는가?
4) 24 로 몇 번 나누어지는가?
5) 38 로 몇 번 나누어지는가?
걷자 
엄마친구없지?
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심심하긴한데.. 아무래도 이 문제들 풀어볼만큼 심심하진 않네요 ㅋㅋ
KMO문제가 좋다는 만재아빠님 말씀만 믿을게요~