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글쓴이 마리스텔라

등록일 2008-11-01 17:36

조회수 6,996

댓글 19

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셋맘 2008-11-02 01:07 

전혀 수학에 대해 아는것이 없어 자세히 아이의 상태를 모르지만 우리아이에 대해 질문을 드립니다

수학공부를 많이하거나 어려운 문제를 잘 풀지는 않습니다

문제집기본도 끝까지 풀어본적 없는것같아요

 

그런데 가끔씩 다른수업시간은 너무 좋은데 수학시간은 재미가 없다고 합니다

아이가 어려워서 못따라가나 하고 보면 그렇진 않고요

이유를 물었더니 선생님하는 방법이 이해는 하는데 자긴 한번도 그렇게 않한답니다

그래서(?)  수학시간  수학책 익힘책 보기싫다네요(똑같은 것만 나온다고)

수학시간이 학교에서 꽤 많은데 벌써 싫어서 어쩌나요

 

2학년때도 한동안 그랬었는데 ....걱정입니다 

 

 
마리스텔라 2008-11-02 11:15:12
아이가 자기만의 풀이법이 고정된 이후에는 좀처럼 다른 방법에 대해 생각해보거나 받아들이는걸 귀찮아합니다. 그래서 어떤 단원이나 영역의 개념을 처음 배울때부터 다양한 방법으로 접근해줘야 합니다. 아이의 방법에 대해 설명해보게한 후,"어쩜 어떻게 그렇게 생각을 했니?"하면서 아이의 방법에 대해 큰관심과 격려를 보여 준 후 ,또 다른 방법은 없는지도 생각해보게하고 슬쩍 다른사람은 이런방법으로도 풀던데 왜 이렇게 풀었을까에 대해 생각해보는 즐거움을 느낄수 있어야 합니다.
할아버지 2008-11-02 14:55:48
모든 공부는 의욕이 첫째입니다. 모두가 중시한다는 수학을 문제집의 기본문제도 끝까지 풀이한 적 없다니 수학이 싫다는 말을 할 자격이 있는 것입니까?

기본문제도 익힘책 문제도 모두 만점을 맞으면서 선생님 방법의 좋고 나쁨을 논해야 한다고 봅니다.

요즘 문제집 잘 구성되어 있습니다...기본문제를 풀어야 그 다음 난이도 수준의 문제를 풀 수 있도록 절차가 잘 되어 있습니다...기본문제를 한번 시작하면 끝장을 보는 습관부터 시작하셔야 합니다. 결론적으로 공부는 인내심이 따라야 합니다.

3학년인 모양인데 3학년 때 올바로 하지 못하면 정말 힘듭니다.

수학의 풀이방법은 무궁합니다. 그러나 선생님이나 해설집의 풀이 절차는 결과적으로 가장 효과적인 방법이 대부분입니다. 또 요즘 아이들 대단합니다. 즉 자기 나름의 풀이방법을 창안해 냅니다. 아이의 창의성을 칭찬할 필요도 있습니다. 그러나 아이의 풀이절차와 선생님 또는 해설집의 풀이절차의 차이를 엄마가 연구하여 필요시 아이에게 효과적인 풀이절차를 권유할 필요가 있습니다.
셋맘 2008-11-02 21:37:45
두분 조언 감사히 읽었습니다
마리스텔라님 아이가 고집이세고 아직 공부의 즐거움을 못 느끼는것 같습니다 제 숙제인것 같습니다
할아버지님 이번 중간고사는 수학은 백점맞았는데 아이러니하게도 우리아이가 복잡한 문제를 재미있어 합니다 당장 서점가서 문제집 탐험을 해야 겠습니다 그리고 아이가 악기와 과학을 너무 좋아해 공부도 성실히 할줄알았는데 그건 좀 다른가 봅니다 수학공부 꾸준히 하게 조언 주셔서 감사합니다
태현맘 2008-11-02 22:54:47
마리스텔라님 귀한 자료 많은 도움이 되었습니다 *^^*
수학영재라니~~ 부끄럽습니당 . 그냥 어쩌다보니 요기까지 왔네여...
오늘 낮에 수학공부를 왜하냐는 질문에 아이가 답하기를.."모든 과학의 기초는 수학에 의존하며 좀더 발전된 과학과 과학의 심화는 수학과 따로 떼어 갈수없어요. 과학을 잘하려면 수학을 알아야 하니까요.그리고 재미있잖아요. 머리쓰는게~" 라고 대답하더군요.결과적으론 요녀석은 모든 공부를과학땜에 하고 있다는겁니당... 음악을 전공한 엄마에게 자꾸 과학과 수학을 들이대니...용량딸리는 엄마는 늘 힘들어 죽겄습니다 ㅠ.ㅠ
마리스텔라 2008-11-03 10:40:25
태현맘님,원래 영재는 타고난 것도 있지만 본인스스로가 재미를 느껴
빠져서 하다보니 그 분야에 뛰어나게 되는게 진짜 영재아닐까요?
지금 시점에서 학년선행하는게 부담스러우시면 수학관련도서와
[초등사고력1031]문제집을 슬쩍 던져줘보세요.
사고력문제가 교과서 마지막단원인 "문제푸는 방법"이 심화된것들이니까
지금까지 풀었던 심화문제집에서도 다뤄봤겠지만 이건 영역별로 정리되어있으니 또 다른 분위기라 재미있어할거예요. 앞으로도 아이가 수학에
대한 흥미와 호기심 잃지않길 바래요.
마리스텔라 2008-11-07 17:36:01
할아버님 말씀 읽으면서 학문에 대한 겸손한 자세에 대해 생각해 봅니다.
마리스텔라 2008-11-02 00:07 

태현맘님, 초2인 아이스스로가 자발적으로 초5 심화과정까지 즐겁게 마쳤다면 수학영재일 가능성이 높습니다.

그래서 청주교대 교수님이  수학영재교육의이론과 실제에 대한 글이 참고가 될까 하여 올립니다.

 

초등 영재 교육의 이론과 실제 - 수학교육을 중심으로
                      박영희 (청주교육대학교)

1. 들어가는 말

영재교육에는 인간의 타고난 재능과 의욕을 키워주고 개발하는 측면과 국가발전을 위해 유능한 인재를 육성하는 측면이 있다. 세계는 지식정보화 시대를 맞이하여 인적자원에 대한 투자를 아끼지 않고 있다. 20세기초에 미국, 러시아, 유럽을 비롯하여 대만, 중국, 필리핀과 인도네시아 등 아시아 각국에서도 국가적으로 영재 교육에 대한 관심을 갖고 관련법을 제정하여 체계적인 영재 선발과 교육을 실시하고 있다. 그 동안 우리 나라도 우수한 인적 자원의 개발과 육성에 많은 관심을 갖고 있었다. 우리 나라는 과학고, 과학기술원으로 이어지는 영재 교육 체제를 운영해 왔는데 이를 초, 중등으로 확대하기 위해 과학영재센터들을 지역별로 대학 내에 설치토록 하여 초, 중학생 대상의 수학, 과학 영재 프로그램을 개발, 교육하도록 하고 있다. 그리고 최근에 한국교육개발원의 영재교육원에서 영재 교수 학습 자료 개발 연구와 영재 교육과정 개발 연구를 하고 있다.
초등에서 영재의 판별은 주로 타고난 능력에 의존하게 되기 쉽다. 그러나 영재성은 뒤늦게 나타날 수도 있고, 차츰 개발되어 뒤늦게 능력을 발휘할 수도 있다. 따라서 초등에서 영재성의 판별과 교육은 신중하게 계획, 실행되어야 한다. 본 고에서는 초등 수학 영재 교육에 초점을 맞추어 영재 판별과 교육 방향 등을 살펴보고, 현재 청주교대에서 실시되고 있는 초등 수학 영재 교육 운영 현황을 소개하고자 한다.


2. 들어가는 말


가. 초등 수학 영재 교육에 대한 고찰
일반적으로 영재성에 대해 렌줄리는 평균이상의 능력, 창의성, 과제집착력의 세 요소의 상호작용에 의해 나타나는 것으로 정의하였다. 가네는 인간 적성중 한가지 이상에서 평균이상의 능력을 타고나고, 그것을 개인의 동기 및 성격과 사회적 환경과 잘 결합하여 평균이상의 성취를 이끄는 것이라 하였다. 이외에 가드너의 중다지능 이론에 입각한 정의, 스턴버그의 지능요소 이론에 입각한 정의가 있다. 이렇게 영재성에 대해 다양한 견해가 있는데, 이런 영재에 대한 정의들을 종합할 때에 수학 영재란 수리 분야에서 뛰어난 능력을 타고났고, 그 분야에 특별한 흥미와 관심을 가진 사람이라고 할 수 있다.
수학 영재아의 특성으로는 한번 풀기 시작한 문제는 끝까지 풀려고 하며, 수와 관련된 생각을 즐기고, 수리적 개념을 쉽게 이해하며, 숫자 세기를 즐기고, 물건 작동 및 자연의 이치에 대한 질문이 많고, 자연이나 과학과 관련된 TV프로그램과 책을 즐겨 찾는다. 그리고 패턴이나 규칙을 찾으려고 애쓰며, 여러 자연 현상에 대해서 관심이 많고, 블록이나 장난감을 갖고 놀 때도 다양한 조작을 통해 원인, 결과를 알아내려고 한다. (한국교육개발원, 1996)
초등학교에서 수학영재아들은 배우는 내용을 이미 알고 있거나, 너무 쉽기 때문에 수학에 흥미를 오히려 잃고 잠재적 가능성을 발현할 수 있기보다는 과대 포장된 자아상만 갖고 능력 개발에 대한 노력을 게을리 하기 쉽다. 개인적으로나 국가적 이익을 위해 이런 수학영재아들에 대해 적절한 교육이 실시되어야 한다.
초등단계에서는 영재를 판별, 선발하고, 적절한 교육내용을 선정, 개발하는 인지적 측면뿐만이 아니라 정의적 측면에서의 교육도 중요하다. 인지적 능력은 중학교 수준이지만 정의적 수준은 그에 못 미치기 때문에 심한 갈등을 겪을 수도 있다. 스스로 능력을 키우는 힘을 심어 주는 것도 초등 수학 영재 교육의 핵심 요소라고 할 수 있다.
초등 수학 영재아들은 초등 수학에 대해 깊이 있게 파고들기를 원하면서, 더 높은 수준의 내용을 배우기를 원한다. 이를 위해 심화 및 속진 교육을 실시하는데 그 비율 및 난이도, 내용선정에 대해 많은 연구가 필요하다. 흔히 수학영재반에서 하는 활동은 경시대회 문제 풀이 위주이거나 상위 학년의 수학 내용을 빨리 익히는 수가 많다. 초등 수학 수준의 문제들을 척척 풀고, 중학교 문제까지도 어느 정도 푼다고 수학 영재아라고 할 수가 있는가. 수학 영재를 그 수준에 적절한 난이도의 교육 내용에 빨리 도달하도록 하여야 한다고 주장할 수도 있다. 이는 현재 많이 실시되는 수학 경시 대회들에서 좋은 성적을 얻기 위는 가시적 성과를 얻을 수 있다. 그래서 지도교사는 유능하다는 평을 얻고, 부모는 아이에 대해 낙관적 희망과 자부심을 가질 수 있다. 하지만, 이는 자칫 기교위주, 형식위주, 알고리즘 위주의 단기적 점수 올리기 교육이 되기 쉽다. 교육은 초등학교에서 끝나는 게 아니라 대학교, 대학원까지 이어지며 그후에는 평생동안 자기 개발을 위해 스스로에게 실시하는 것이다. 물론, 기교를 익혀서 얻는 문제해결의 수월성에 의한 성취감도 중요하고, 경시대회에서의 입상에 의한 자기 만족도 중요하다. 그러나 장거리 경주인 교육에서는 과제 집착하기, 문제 만들기, 창의적이고 다양한 풀이 구하기, 상상력을 키우기 등이 계속적인 영재성 개발에 대해 추진력의 역할을 할 것이다.
이 문제와 맞물려서 영재 선발의 어려움이 있다. 영재의 비율에 대해서 렌줄리, 가네의 상위 15-20% 아동이 포함되어야 한다는 주장이 있는 반면에 미 연방정부는 전체 아동의 상위 3-5%로 보고 있다. 한국교육개발원에서는 수학 영재 판별 절차를 다음과 같이 세 단계로 나눈다.
여기서 2차 판별에 사용되는 수학 창의적 문제해결력 검사가 중요한 역할을 한다. 1단계는 별 노력 없이 얻을 수 있는 정보이고, 3차 판별 방식은 전폭적인 행정적, 재정적 지원이 수반되어야 하며 철저한 준비와 판별 기준에 대한 체계적인 연구가 아직 부족하기 때문이다. 수학 창의적 문제는 수학적 사고 능력과 수학적 창의성을 평가하는데 적용 결과로 창의성을 구성하는 유창성, 융통성, 독창성, 정교성 중에서 초등학교 5학년까지는 정교성에 대한 점수가 극히 낮았다고 한다.
적절한 영재 판별을 위해서 주어진 문제를 해결하는 능력을 재기 쉬운 2단계보다, 새로운 주제에 대한 교육을 실시하고, 그것에 대한 반응과 문제점을 찾아 해결하는 모습을 관찰기록과 그 산출물을 평가하는 3단계가 바람직하다고 생각한다. 이는 3-4일정도의 기간이 소요될 수 있으며, 많은 수의 학생을 대상으로 하기에는 부적절하므로 1, 2단계를 거친 아동들을 대상으로 하여야 할 것이다.
수학영재아를 판별하는 것보다 중요한 게 교육을 어떻게 할 것인가 이다. 판별을 아무리 엄밀히 한다고 해도 장래에 영재성을 꽃피울 대상을 제대로 알아내는 것은 불가능할 것이다. 영재교육내용으로 구분하면 크게 속진과 심화로 나눌 수 있다. 교육 시간으로 분류하면 방과후 교육, 주말교육, 영재캠프, 집중교육, 원격교육 등으로 나눌 수 있을 것이다. 특히 원격교육은 잠재적인 영재아들을 모두 접속 가능하게 하여 계속적인 프로그램 제공하고 연구결과물을 받아서 평가하는 과정을 반복하면서, 자연스럽게 영재아를 판별할 수 있다. 그리고 거리·시간·인원수의 제약 때문에 제대로 영재교육을 받지 못하는 아동들 모두에게 혜택이 돌아 갈 수 있는 장점이 있다. 그렇지만 아직은 원격을 통해서 교육할 수 있는 내용이 제한적일 수밖에 없고 교사와 학생간의 피드백이 원활하지 못한 단점이 있다.
초등학교 심화학습 운영이 아동에게 미치는 영향에 대한 연구에 의하면, 영재학교, 상설 영재학급 등에서 학습할 때, 성취도는 향상되지만, 자신감, 자아효능감, 도전적 과제를 요구하는 정도는 낮아진다고 한다. 이와 반대로 일반 학급 내에서 개별화 교육을 받거나, 일주일에 수시간 정도 영재교육을 받는 경우는 자신감, 자아효능감은 높아지지만 실제 성취도는 많이 향상되지는 않는다고 한다. (조석희 외, 1998)
초등 수학 영재 교육 내용을 개발하기 위해서는 풍부한 학습 자료 및 현장 교사와 교수 등의 협력이 필요하다. 단편적인 문제 해결로만 끝내는 과제가 아니라 각 학년별로 배운 내용과 연관된 주제를 좀 더 깊이 탐구할 수 있도록 하고, 한번으로 그치는 것이 아니라 계속적으로 공부해 볼 수 있는 주제를 개발하여야 할 것이다. 현재 초등 영재 교육에 대해 각 영재 센터들도 관심을 갖고 실시하기 위한 준비를 하고 있다. 그렇지만 단위 학교에서 초등 수학 영재아들에 대해 교육을 실시하는 것도 요구되고 있으며 이를 위해서는 수학영재아 교육을 위한 교사 교육 및 연수가 필요할 것이다. 초등 수학 영재 교육에 대해 전문적인 자질과 지식을 갖춘 교사들간에 프로그램 교류와 교육 경험 공유를 통해 자체적인 발전을 이루어 나아갈 수도 있을 것이다.

나. 청주교대 초등 수학 영재 교육 사례
청주교대 초등 수학 영재 교육은 수학교육과의 교수진과 현장교사, 수학교육과 대학원생들이 프로그램 개발과 수업을 담당하고 도우미교사로 3학년 학부생 15명이 참여하고 있다. 교육 대상은 충북 지역 초등학교 5학년 이하의 학생들이다. 선발대상은 충북지역 내 각 초등학교마다 학교장이 4학년부터 5학년까지 학생들 중 과학 및 수학 우수아 각 20명 이내로 추천하는데 그 추천 받을 자격은 다음중 한가지에 해당하면 된다. 지능지수가 125 이상이고 전체 성적이 상위 20% 이내이거나 과학 및 수학 성적이 상위 10% 이내 담임교사가 '과학 또는 수학에 대해 특별한 능력과 우수한 재능(창의력 및 문제해결능력)'을 보인다고 판단하는 학생이다. 선발 방법은 1차와 2차 시험을 보아서 선발하게 된다. 1차는 객관식이고 2차는 난이도가 높은 주관식 시험을 보게 된다. 이를 종합하여 최종 선발을 하게 된다. 수학 경시 대회 겸 영재 선발이기에 수학영재 선발을 필기 시험에만 의존하는 것은 보완되어야 할 점이다. 지금 교육중인 3기생들은 인원이 한 반에 20명씩 무반 40명으로 구성되어 있다. 대부분 5학년 남학생이며 여학생은 6명이고 4학년생은 8명이다. 도우미교사가 한 반에 4명씩 배치되어 5명으로 이루어진 한 조를 담당하여 각 학생 개인별로 태도, 수학학습 상황 등을 프로그램 교육 때마다 체크하고 있다.
현재 교육과정은 주말교육, 영재캠프, 집중교육, 후속교육인 원격교육으로 구성되어 있다. 주말교육은 매주 토요일 오후 3시부터 5시까지 청주교대에서 실시하며, 이번 학기는 3기생들을 대상으로 10번의 기말교육이 진행중이다. 1학기와 2학기에 진행되었거나 진행할 수학 프로그램은 '수·연산 영역', '관계 영역', '확률·통계 영역', '측도 영역', '도형 영역'으로 크게 구분하여 비슷한 비율로 개발하고 있다. 이번 학기에 실시된 프로그램은 '마술카드의 비밀', '그림자로 피라미드의 높이를 재다', '피보나치 수열 탐구', '프랙탈 탐구', '기하판으로 배우는 수학' 등이다.
다음에는 제공된 프로그램중에서 '피보나치 수열' 프로그램의 배경과 구성의 단계별 내용을 소개한다.
1) 프로그램구성의 배경
수학에도 역사가 있고, 자연현상과 관련있으며, 수학적 개념들 사이의 연관성을 학생들이 느끼게 할 수 있는 흥미있는 소재로서 피보나치 수열을 선정하였다.
수학의 개념에도 역사적 발생배경이 있고 그 시대의 경제적, 사회적 배경 속에서 발생하고 발전한 것임을 느끼게 할 수 있는 소재의 하나가 피보나치수열이다. 피보나치수열(Fibonacci sequence)은 피보나치(1174-1250)란 수학에 재능이 있는 중세의 이탈리아 피사출신의 상인이 세계곳곳을 다니다가 아라비아 수학의 필산법(筆算法)의 우수성을 깨닫고 귀국한 후 1202년에 '계산판의 책(算盤書, Liber abaci)'을 라틴어로 썼는데 그 책에 서술된 토끼수의 증가문제에서 유래되었다. 또한 토끼수의 증가문제를 통해 피보나치수열을 제대로 만들기 위해서는 전후의 연결관계를 파악하여야 하기 때문에 논리적 추론 능력을 키울 수 있다.
그리고, 솔방울의 나선수, 해바라기씨의 나선수, 파인애플의 나선수 등에서 발견되는 수가 모두 피보나치수열중의 수임을 학생들이 직접 관찰하여 알게 된다면, 단순한 설명에 의한 것보다 수학과 자연의 관련성을 깊이 깨닫는 계기가 될 것이다. 그리하여 학생들이 자연현상을 탐구하는 도구로서의 수학의 유용성을 인식하고, 수학에 대한 흥미를 높이는데 도움이 될 걸로 연구팀은 기대하였다. 그래서 그중 주위에서 쉽게 구할 수 있는 솔방울을 자료로 활용하였다.
독립적일 것 같은 수학개념들간에도 연관이 있다는 것을 경험하도록 하기 위해 고대건축물, 인체의 구성비와 관련있는 황금비와 피보나치수열의 관계를 알아보도록 하였다. 
그 외에도 피보나치수열을 기호로 나타내고, 피보나치수열의 규칙을 기호로 나타내어 수학적 추상화를 해 보고, 다양한 규칙을 갖고 있는 피보나치수열을 활용한 여러 탐구활동을 해 볼 수 있다.
2) 프로그램 구성 ---생략
◇ 1단계
솔방울을 학생들에게 나누어주고 솔방울과 오늘 학습할 내용과 어떤 관계가 있음을 암시하고 추측하도록 하여 호기심을 갖게 한다. 그 다음에 수들을 칠판에 써 놓고 중간에 괄호 안에 들어 갈 수가 무엇인지 대답하게 한다. 이와 같이 어떤 규칙을 갖는 수들의 나열을 수열이라 한다고 가르치고 수열에서 첫째 수는 첫째항, 둘째 수는 둘째항, …, 열째 수는 열째 항이라 한다고 가르친다. 그 다음에 1로 시작하는 수열 또는 2로 시작하는 수열에는 어떤 것이 있는지 나름대로 규칙을 정해서 수열을 만들어 활동지에 답하도록 한다. 만든 수열을 서로 바꾸어서 어떤 규칙으로 만들었는지 맞추기 놀이를 한다. 이런 활동을 통해 수열의 기본개념을 익히는 단계이다.
◇ 2단계
수학에도 역사가 있음을 알게 하기 위한 의도가 있는 단계이다.

더불어 논리적 추론규칙을 파악하는 학습을 하도록 한다.
중세의 피보나치란 사람에 대한 얘기를 해 주고 그 사람이 쓴 책에 소개된 수학문제중의 하나가 토끼수 증가문제라고 소개하여 학생들의 문제를 해결하고자 하는 의욕을 높인다. 조별활동으로 토끼부모스티커와 새끼토끼스티커를 갖고 협의해 가면서 문제에서 주어진 규칙에 맞추어 스티커를 1월부터 7월까지 칸이 마련되어 있는 활동지에 붙인다. 7월까지 토끼수의 증가가 어떻게 되고 있는지 학생들이 발견하여 12월의 토끼 쌍의 수가 얼마가 될는지 구하도록 한다. 교사는 토끼수 증가를 4월 초정도까지 칠판이나 실물환등기를 이용하여 규칙에 맞춰 스티커를 붙이는 시범을 보인다.
◇ 3단계
1단계에서 학생들에게 추측하게 한 솔방울과 피보나치수열과의 관계에 대한 것을 알아보는 단계이다. 솔방울의 시계방향과 반시계방향으로의 나선 수를 세어 보게 하여 피보나치수열과의 어떤 관계가 있는지 알아보게 하여 그 내용을 활동지에 적게 한다. 솔방울은 한사람에 하나씩 충분히 있으므로 개별활동으로 한다. 실물환등기로 솔방울의 시계방향 또는 반시계방향의 나선을 보여주면서 올바른 이해를 하도록 돕는다. 학생들이 피보나치수열의 연속된 두 수가 시계방향과 반시계방향 나선수로 나타남을 발견하도록 한다.
◇ 4단계
수학의 추상화를 연습하는 단계로서 피보나치수열의 첫째항을 수학기호로 표시하면
F_1 , 둘째항을 F_2 라고 나타내져서 n번째 항을 f_n 이라고 표시한다고 교사가 설명한다.

그 다음에 활동지의 표에 있는 피보나치수열의 수들 밑에 해당하는 기호를 적도록 한다. 즉, 피보나치수열 중에서 233이란 수는 수학기호로 어떻게 나타낼 수 있는지 알아보도록 한다. 이런 기호를 연습한 다음에 토끼수 증가문제에서 발견한 피보나치수열의 규칙을 기호로 나타내 보도록 하여 규칙을 수학적 기호로 간단히 나타낼 수 있음을 느끼게 한다.
◇ 5단계
황금비는 고대 그리스의 아름다운 건축물 및 동양의 도자기나 불상의 가로, 세로 비에서 발견되는 비율이다. 사람의 구부린 손가락이나, 사람 얼굴, 인체비율에서도 나타나는데 1 : (1+ sqrt {5} ) / 2 ≒ 1 : 1.618034 ≒ 0.618034 : 1 이며 이런 비율로 그린 직사각형을 사람은 가장 아름답게 느낀다고 한다는 걸 교사가 설명한다. 실물환등기로 고대건축물, 사람의 구부린 손가락, 인체비율에 관한 그림을 보여주면서 얘기한다. 구부린 손가락 그림처럼 학생들이 각자 손가락을 구부려서 자로 그것의 가로, 세로 비를 재어서 계산기로 비율을 계산해 보도록 하고 황금비와 비슷한지 확인해 보도록 한다.
◇ 6단계
황금비와 피보나치수열간의 관계를 알아보는 단계인데 피보나치수열의 연속된 수끼리의 비율을 계산기로 계산해서 조별활동으로 활동지의 표를 완성하도록 한다. 계산기를 이용하도록 한 것은 황금비와 비교하기 위해서는 소수 6째자리까지 나누어야 하는데 그 계산을 학생들이 직접 하도록 하면 시간도 많이 걸리고 지루하게 되어 목적성을 자칫 잃기 쉬울 거라는 생각에서이다. 표에 답해 가면서 점점 황금비와 비슷하게 됨을 발견하고 수학적 개념간의 관계에 관심을 유도하도록 한다.
◇ 7단계
피보나치수열의 수들에서 서로 다른 수를 세 개 선택하여 그걸 변의 길이로 갖는 삼각형을 그릴 수 있는지 알아보도록 한다. 가능한지 학생들이 직접 삼각형을 그려보게 하고 안된다면 그 이유는 무엇인지 토론하고 발표하게 한다. 결국 그 이유는 피보나치수열의 규칙과 관련됨을 발견하도록 한다.
◇ 8단계
첫 번째 피보나치수부터 n번째 피보나치수까지의 합을 n이 1, 2, …, 8일 때 구하여 활동지의 표에 정리하게 한다. 그 합으로 나타난 수들의 규칙을 찾도록 하고 피보나치수열과 관련하여 어떤 규칙을 갖고 있는지 탐구하도록 한다. 약간 어려울 거라 예상되므로 조별로 토론과 협의를 통해 문제를 해결하도록 하고 그 결과를 발표하도록 한다.
◇ 9단계
이번 프로그램을 통해 배운 내용과 해결과정, 새로운 사실을 알게 되고 발견했을 때의 느낌 등을 적고, 반성할 점을 알아본다. 피보나치수열을 통해 수학의 역사성이나 자연과의 관련성, 수학적 개념간의 연결성에 대해 어떤 느낌을 가지게 되었는지 학생들의 의견을 적도록 한다.
한편, 영재캠프에서는 방학동안에 2박 3일 정도로 합숙을 하면서 과제를 탐구하고, 학생들끼리 토론한 결과를 발표하는 등의 활동을 한다. 이는 자기만 알기 쉬운 영재아들 끼리 협동심을 키우고, 연구한 결과를 알기 쉽게 정리하여 발표하는 기회를 제공한다. 최근에는 8월초에 2박 3일간 수학 1, 2기생들을 대상으로 실시되었다. 과학프로그램이 과학영재아들과 함께 제공되기도 했다. 이번 캠프기간에도 일부 학생들은 새벽까지 문제를 풀기도 하고, 열띤 토론을 벌이기도 하였다. 제공된 수학프로그램은 '하노이 탑과 과제풀이', '입체도형탐구', '소마큐브'였다. 캠프 마지막날에 실시된 설문 조사에서 학생들은 대체로 캠프가 재미있고 유익했었지만 활동적인 과제가 많았으면 좋겠다고 하였다. 함께 과제를 해결하고 남에게 쉽게 아는 것을 전달하는 것이 중요한 이 시대에 공동의 활동의 장이 되는 캠프를 마친 후 학생들은 힘든 과정이지만 더 많은 것을 하고 싶다는 의견을 제시하였다. 우리 나라에서 영재판별에 대한 연구는 활발하지만 영재프로그램 개발과 캠프운영에 대한 연구는 거의 없다. 이런 경험을 축적하여 이론적 틀을 잡아 나간다면 앞으로 많이 생길 다른 초등 수학 영재 교육 기관의 운영에 많은 도움을 줄 수 있을 것이다.
집중교육이란 방학중 10일간 아침부터 저녁까지 단기간에 집중적으로 공부하는 것을 의미한다. 이 집중교육에서 숙식을 함께 하며 교육을 받는 것에는 장점과 단점을 갖고 있다. 장점은 영재캠프와 같이 영재아들간에 화합을 도모하고 늦게까지 같이 연구하고 토론하는 경험을 쌓을 수 있는 것이고 단점은 아직 나이가 어리기 때문에 그 기간동안 부모나 집이 그리워서 제대로 영재프로그램 공부를 못할 수 있는 것이다.
교육을 마친 학생들은 영재학교를 졸업하게 되는데 이후 중학교 진학 전까지의 기간동안에 인터넷을 이용하여 원격교육을 받게 된다. 현재 주말교육은 심화 위주이고, 원격교육은 속진 위주로 프로그램을 개발, 교육하고 있다. 그리고, 원격교육을 통해 후속교육만이 아니라 1주마다 간단히 해결할만한 과제를 머리굴리기 과제라고 해서 내 주고, 답을 인터넷으로 제출 받고 있다.
마지막으로 초등 수학 영재아들에 대해 교육을 실시하면서 느낀 점들을 제시한다. 먼저 선발이 지필식 경시대회 문제로만 실시된 것이다. 이는 영재학교에 들어오고 싶은 많은 학생들이 창의적인 수학 연구를 하기보다는 문제 풀이 기교에만 매달리게 할 여지가 많다. 이에 대해서 현실적 대안이 준비되어야 할 것이다. 둘째는 영재아들간에 수준 차가 상당하며 적극성과 표현력 등에서도 많은 차이가 보인다. 이는 수업하는 교사의 역할이 상당히 중요함을 의미하며 영재아 담당 교사를 위한 연수가 필요함을 보여 준다. 셋째, 프로그램 개발이 영재아들의 수준 반영 및 초등학교 교과과정과의 연계가 체계적으로 진행되지 못하고 있다. 이론적 선행 연구가 많이 되어야 하며, 이는 전체 영재교육기관들이 협력하여 진행되어야 할 것이다. 넷째, 초등학생 대상 수학프로그램의 소재가 될만한 자료가 빈약하고, 교구를 활용하려고 해도 구하기 어려운 경우가 많다. 프로그램 개발자 사이에 중학교 수준이라면 더 많은 프로그램을 더 쉽게 만들 수 있을 거라는 얘기가 많았다. 다섯째, 인터넷을 통한 원격교육은 많은 장점을 갖고 있지만 아직 집에 컴퓨터가 없는 학생들도 꽤 있기 때문에 위화감을 조성할 수 있고, 하고자 하는 의욕이 있어도 접속할 방법이 없어서 교육을 못 받을 수가 있다.
3. 맺는 말
초등 수학 영재아들은 아직 발현되지 않은 잠재적 능력과 열정을 간직하고 있기에 그들에게 제공하는 교육프로그램은 영재아들이 자연 및 생활 속에서 탐구 과제를 찾아서, 스스로 탐구하는 습관을 길러주는 데 초점을 맞추어야 한다. 그러므로 수학경시대회에서 성적을 잘 받게 하기 위한 단기적 목표보다는 관심 있는 문제를 끈기 있게 해결하고자 노력하도록 유도하는 게 필요하다. 따라서 속진 보다는 심화가 더 중요하며, 수학에 대한 흥미와 관심을 잃지 않도록 재미있는 수학사, 수학퀴즈 등을 적절히 이용하여야 한다. 개인적 탐구 열정을 북돋는 것 외에 점차 학문 연구의 전형적인 모습이 되어 가는 공동연구를 준비하기 위해서 타인과의 협동, 아는 것을 남에게 쉽게 소개할 수 있는 발표력, 표현력을 신장시키도록 하여야 한다.
그리고, 좀 더 넓은 대상의 아동들에게 교육을 확대할 필요가 있다. 이는 원격교육을 통해 원하는 모든 아동들이 그 혜택을 받을 수 있어야 할 것이다. 그리고 교사 연수를 실시하여 일선 학교에서 방과후 특별활동이나 수학영재특별반 등을 통해 수학 영재 교육이 확대되는 방향으로 나아가야 할 것이다.


참 고 문 헌
김수환, 김주봉, 박영희, 이경화 (1998). 충북 지역 수학·과학 영재 캠프 운영 사례. 수학교육세미나, 2집. pp. 75-87.
김주봉, 김수환, 박영희, 이경화 (1997). 영재학교 운영사례 연구: 초등학교 5학년을 대상으로초등수학교육, 1권

                                                                                                                                     2호,pp. 109-114. 김주봉 (1999). 청주교대 과학영재교육센터의 '99 수학영재캠프 활동. 수학교육학술지, 4집. pp. 53-62.
김주훈 외 3인 (1996). 영재를 위한 심화 학습 프로그램 개발 연구 -국어, 사회, 수학, 과학을 중심으로-.

                                                                                                            한국교육개발원 수탁연구 CR96-25. 김홍원 외 2인 (1996). 수학 영재 판별 도구 개발 연구 (I) - 기초 연구 편 -. 한국교육개발원 연구보고 CR96-26.
조석희 외 4인 (1996). 영재교육의 이론과 실제. 한국교육개발원 연수자료 CR96-28.
조석희 외 2인 (1998). 초등학교 영재 심화학습 운영 방안: 현장 연구. 한국교육개발원 수탁연구 CR98-            (http://gifted.kedi.re.kr 자료실)
Joo Bong Kim, Soo Hwan Kim, Young Hee Park, Kyeong Hwa Lee (1998). A case study on the management of the mathematics gifted school at elementary level. 청주교대 과학교육연구소논문집, 19집. pp. 26-33.

만재아빠 2008-11-02 07:49:38
으억~~저랑 똑 같은 생각을 가지고 있네요. 자료 정말 감사합니다. 아주 흥미롭게 읽었습니다. 수학 저는 절대적으로 위와 같이 해야 한다고 생각합니다. 피보나치의 Liber Abaci 는 영문으로 800년만에 제작되어 아마존에서 판매되고 있습니다.

위와 같은 문제 200 여문제 심도있게 하면 초등/중등 수학이 튼튼할 것이라고 생각됩니다. 제가 일주일에 한번정도 유클리드 기하학 서너 문제 ( 증명문제 ), 수열에 관한 문제들 몇 개 ( 조합문제, 등차,등비,계비 문제 등 ), 정수에 관한 문제 몇 개 ( 약수/배수 ) 를 "말(개념)"과 "작도"로 가르치고 있답니다.

수학을 저희 아이가 잘할지 못할지는 모르겟습니다. 하지만 저는 방향을 위와 같이 잡고 하고 있답니다.
마리스텔라 2008-11-02 10:50:30
만재아빠님 대단하십니다. 이상적인 생각을 집에서 실천하기는 어려운 일인데... 그런데 교과과정은 어떻게 진행하고 계신지 궁금합니다.
만재아빠 2008-11-02 10:56:33
그것이 완전 선무당식이라서요. 아직 확고하게 어떻게 할 수 있는 나이가 아닌 듯 하기도 하고요. 그리고 "소신"있어야 하고 진리탐구에 대한 대가 ( 내신성적, 경시수상,특목고 )를 전혀 바라지 않아야 가능할 것 같습니다. 유클리드 기하학 책자에 나오는 것들하고 피보나치 유명문제 들 그리고 그렇게 유명한 문제 찾아서 마구 선무당짓을 하고 있습니다.
태현맘 2008-11-01 20:48 

안녕하세요... 제 아이는 초2입니다.

과학에 너무 미쳐있어 그와 연관된 수학까지 좋아라하는 녀석입니다

어려서부터 유난히 수학적이해가 빨라 선행을 하게되었습니다

기본-실력-심화(올림피아드)정도 단계를 밟아 이제 6학년 과정을 눈앞에 두고 있습니다..

기본-실력 단계에서는 제가 봐줄일은 없고 심화단계에서 오답이날경우 같이 얘기하면서 문제를 풀어보는정도가

다입니다. 주위에서 선행이 넘 지나치면 오히려 역효과가 난다고 핀잔도 많이 들었는데...아이가 좋아하고 재미있어 하기에 과학과 수학에 대해선 녀석이 원하는대로 하게끔 놔두고 있습니다..

제가 고민이되고 궁금한점은  지금 이속도대로 간다면 초3정도에 중등과정을 해야하는데... 이것이 아이에게 도움이 될까요...? 아니면 중등과정은 좀더 학년이 높아지면 하고 초등학교 과정을 다시 해줘야 할까요...

지금도 수업시간이 지루해 죽겠다며 -(학교 수학시간은 자기의 인내심키우는 시간이라더군요ㅠ.ㅠ )- 투덜대는데 이렇게 가다가 학교수업에 완전히 흥미를 잃어 수업태도가 나빠지지는 않을까 걱정도 많이 됩니다.

그냥 지나치지 마시고 한줄만 남겨주시면 정말 많은 도움이 되겠습니다~*^^*

도와주세여~~
할아버지 2008-11-01 22:11:58
손자가 현재 4학년입니다. 선행을 무척 중시하고 있습니다. 그리고 선행 때 최고난이도 문제까지 소화하는 등 이미 진행한 부분(단원)은 95%이상 소화하는 것을 목표로 진행하고 있습니다...실례로 현재 우리아인 5학년 과정까지 선행을 마친 상태입니다. 그리고 현재 5학년 최고 수준의 아이들 수준과 유사한 정도의 실력에 이를 것으로 자부합니다.

우리아인 학습태도가 뛰어납니다. 학교의 수업시간에서 기초를 보완한다고 판단합니다. 학교에서 시행하는 어느 시험도 전혀 준비 없이 만점을 맞을 수 있다고 믿고 실제 그러합니다...우리아인 3학년부터 지금까지 4과목 시험과 경시에서 학년 전체 1등을 지속하여 왔습니다...결과적으로 5학년 과정을 깊이 있게 선행하였다면 4학년 과정은 하시라도 준비 없이 만점을 맞아야 효과적인 선행을 하였다고 생각합니다.

우리아이가 2학년 여름까지 4학년 과정을 선행한 적 있습니다. 그 시점에 아이를 test한 결과 그 동안의 공부과정에 큰 결함이 있음을 발견하고 2학년 가을부터 공부방향을 바꾼 적 있습니다...차원이 다르겠으나 엄마의 글을 읽고 유사한 걱정을 하여 봤습니다.

3학년 올라가면 학교 시험이 자주 치뤄집니다. 문제점이 있다면 그때 자연스럽게 문제점이 발견되기도 합니다. 그러나 지금 잘 살펴보십시오

올림피아드 문제를 풀었다 하셨는데 그 문제집 이름을 올려주십시오. 그 이름을 듣고 명일 다시 글을 쓰도록 하겠습니다...학년 별 고난이도 문제집의 수준을 알고 있기 때문입니다...그 글에 추가 의견을 드리도록 노력하겠습니다.
헌트맘 2008-11-02 10:06:50
할아버지!! 반갑습니다
오랫만에 글을 읽게 되네요..
울 아이 손자 따라갈 수준은 안되지만 궁금한점이 있어서요.
저도 학원하나 없이 말만 엄마표 하고 있습니다.

4학년 과학,수학 우수아진단평가에서 상당이 높은점수를 받았다고 샘이 그러시네요..전체2등을 했네요..
근데 심화는 수준있게 푸는데 정작 쉽고 간단한 문제에서 틀린다는거죠..
제가 직장맘이라 무리한 선행을 할수가 없어서 이제 겨우4-나 심화까지 깊게 진도 나가고 이제5-가 배수,공약수 나가고 있는데 넘 재밌다고...
선행위주보단 심화위주로 나가고 있습니다...
겨울방학때까지 5-나심화까지 마무리 지을 계획입니다

여기에서 질문!
저는 5학년까지는 학원 없이 제가 밀고 나가자고 계획 했습니다.
(6-나까지) 글구 5학년 겨울방학때 중등과정 학원에 보낼려고...
근데..주변에서 학원 보내서 올림피아드 보내라고 성화입니다
엄마능력으로 데리고 있기는 아깝다고....넓은세상을 보여주라고...

아직은 책을 읽을때라 생각하고 힘든 살림에도 불구하고 책사주기는 쉬어 본적이 없습니다..
책 레벨은 어떤 아이와도 견줄 자신있을정도로 다독아입니다

데리고 있는게 제 아집인것 같아 이제는 조심스럽네요..
정말 우물안 개구리가 안될려면 밖으로 둘려야 하는지...
전 갠적으로 학원가는 시간에 독서를 하게 하고 싶은데...

여긴 영어 싸이트다 보니 은근이 학습쪽으로는 글이 올라오지 않아 조심스럽더라구요..
조언바랍니다...
할아버지 2008-11-02 12:19:28
헌트맘님, 5가 첫 단원 “배수, 약수” 큰 관문입니다. 5학년 단원 중 가장 어려운 관문입니다. 문제집별 난이도 차이가 엄청 큽니다. 만일 “올림피아드해법”의 문제를 소화하였다면 상당한 수준이라고 믿습니다. 즉 특히 올림피아드해법의 본 단원 문제가 무척 난이도가 상당하였습니다.

우리아인 4학년 때 6학년 과정까지 마친다는 년초의 계획이었으나 잠시 주춤하고 있습니다. 10여일 전부터 다음 주말까지 한자공부에 올인하여야 합니다. 11월 8일 한자 3급 1,817자 시험이 있기 때문입니다...그러나 년초 계획대로 명년 2월말가진 6학년 과정을 끝낼겁니다.

“경시”...특히 학교선생님이 권유하는 경우 기피하기 곤란합니다. 경시(올림피아드, 교육청영재 등)는 별도의 준비를 하여야 고득점이 가능합니다. 3학년 때 올림피아드에 응시하여 입상한 적 있습니다. 당시 이런 판단을 하였습니다.
1).오직 선행에 집중하겠다. 다른 경시에 응시하지 않겠다. 4학년 때 초등과정을 마치고 5학년부터 중학과정을 시작하여 5학년 기간에 중2과정을 마치겠다. 그리고 5학년 말에 올림피아드와 교육청 영재를 시도하겠다.

2).그 후 3학년 말에 학교담임의 교육청 영재 응시 권유도 뿌리치고, 선행에 집중하였습니다. 나름대로 성공(?) 하였다고 봅니다. 그러나 금년에도 교육청 영재 건이 있습니다. 아이가 학교 전체 1등이므로 분명 담임의 권유가 있을 것이기 때문입니다...아이는 응시하겠다고 합니다.

3).응시하는 경우 문제가 있습니다. 그 시험을 별도로 준비할 것인지 아니면 계속 선행을 지속하여 선행의 실력만으로 참석할 것인지 고민입니다. 지금은 선행실력만으로 하겠다는 생각인데 막상 시기가 닥치면 욕심이 생길 것입니다. 그럴 경우 선행에 차질을 초래하기 때문입니다.

경시를 준비하기 위한 공부는 바람직하지 않다는 소신입니다. 초등게시판에 경시와 관련한 본인의 글을 한번 보시면 그 이유를 자세히 올려있습니다...또 집에서의 지도 한계는 엄마만 판단할 수 있습니다. 엄마가 시간과 능력이 가능하다면 학원보다야 엄마가 가르치는 것이 낫지 않을까요?

헌트맘 2008-11-02 15:21:16
저는 제가 경시에는 관심이 없는줄 알았습니다.
근데 선생님의 말씀을 듣고 흔들리네요..
요즘 들어 자꾸 올림피아드와, 교육청영재에 관심이 가져지는게...

그래서 따로 올림피아드 위주로 공부를 해야되나??
고민하고 있는데..할아버지님도 똑같은 고민이시네요..
저의 아들은 선행이 하나도 안되었기에 힘들다고 말씀드렸더니
(굳이 선행의 의미를 몰랐다는게 맞을듯)
기본실력으로 보라고..
에궁! 전 선행의 진정 의미를 왜 이제서야 찾았을까요?

준비없이 기본실력으로 봤다가 손자같은 얘들이 많으면 기냥 쪽박이네요 ㅋㅋ

쓰다보니 너무 여쭤볼 말이 많아서 따로 쪽지로 드릴께요 .감사합니다
할아버지 2008-11-02 17:57:43
헌트맘님,

교육청 영재 선발은 선행 또는 현 실력과 다소 다른 차원인 것 같습니다.

지난 해 3학년 때 학교의 권유로 우리아이 학교에서 수학성적이 가장 나은 측에 속하는 5명이 "한국과학영재 올림피아드" 수학 부분에 응시하였습니다.

결과는 심각하였습니다. 평소 선행에 중점을 두고 깊이 있게 공부한 우리아이 혼자 입상하였고, 나머지 아이들은 5점에서 15점 사이였습니다. 우리아이와 이들의 점수 차이가 무려 40점에 가까웠습니다.

이 4명 중엔 왕수학 학원 등 제법 열심히하고 준비를 한 아이도 포함되어 있었습니다...그때 보통 학원의 가르치는 수준을 짐작하였습니다...소위 학교에서 모두 1등하는 아이들이 10점 선을 맞았다고 생각해 보십시요. 자칫 충격을 받을까 걱정도 하였습니다.

경시를 위한 공부는 바람직하지 않다고 봅니다. 좀 늦게 아이스스로 공부도 하고 욕심이 강하게 될 고학년 이상의 시점에서나 검토하는 것이 효과적이라 판단하였습니다.

전문가 또는 교수들에게 물으면 영재는 준비 없이 시험을 치뤄서 합격하여야 한다는 유사한 차원의 말 합니다...그말 그대로 믿지 마십시오.
태현맘 2008-11-02 23:20:45
할아버지님...이렇게까지 신경을 써주시다니 정말 ~ 감사합니다 *^^*
수학공부를 하면서 아직까진 아이가 어린지라 모든과정을 완벽히하길 바란적은 없습니다. 다만 아이가 여러문제를 풀어보고 생각함으로 좀더 생각의 폭과 사고력이 자라면 그걸로 족하다고 생각했었죠...
학습태도에 있어선 저로서도 아이에게 뭐라해줄말이 딱히 없어서요..초2과정이 겨우 구구단이나 세자리수 연산이 다이므로 수업시간에 기초를 보완한다는것도 통하지 않더군요...다만 ,선생님 시키는대로 열심히 하라고만 늘 강조하고 있답니다...
할아버님처럼 체계적이고도 치밀한 학습계획아래 아이를 지도하시는걸보니 제가 많이 부끄럽습니다. 할아버님께 많이 배워야할듯해요 ^^
부끄럽지만 제아이가 공부한책은 입학전까진 대한교과서의 문제해결의 길잡이 원리,심화 1,2,3학년단계( 와이즈만에서 추천해주었음),해법최고수준수학, 와이즈만 창의력수학정도 이구요
초등학교에 입학후엔 동아큐브수학 기본-실력-심화, 왕수학올림피아드정도를 풀게 했습니다. 아직까지는 가르쳐주는사람없이 혼자하고 있습니다.
할아버지 2008-11-03 09:08:54
왕수학욜림피아드는 난이도가 무척 높습니다. 2학년 아이가 왕수학올림피아드 5학년까지 마쳤다함은 상상을 초월하는 아이라고 믿습니다.

우리아이도 나름대로 다분히 영재끼가 있다고 의심하는데 귀 자녀와는 차원이 다른 듯 합니다.

마리스텔라님 조언을 귀 담아 들어야 할 것 같습니다.

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