쑥쑥몰
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별 생각없이 올렸던 사칙연산에 대한 생각이라는 글로 인해서 갑자기 수학 이야기가 많이 오고가는 분위기에 불을 지핀 것 같아서 올리길 잘했다라는 생각이 들었습니다. 어제부터 틈틈히 써놓았는데 글의 두서가 없을가 걱정이 됩니다.
깐순아빠님은 반론을 제시하시길 원하셨는데, 사실 제 입장에서는 어떤 부분이 평행선인지를 한참 찾아보고 고민하면서 찾아나갔다는 것이 더 정확한 표현일 것입니다. 한 달간 이곳에 들르지 않으셨다고 하셨는데, 제가 올렸던 글들이나 답글들을 충분히 읽지 않으신 상태에서 반론의 글을 올리시다보니 이런 현상이 생긴 것이 아닐가 싶습니다.
깐순 아빠님의 반론제시는 여러 의견을 종합해보고, 아무리 좋은 의견, 완벽해 보이는 것이라도 검증이나 기타 오류는 없는지, 또 아이들마다의 다양성에서 획일적 기준을 제시할 수 없음에 대한 경종을 울리고자 하는 것이 아닐가 싶습니다. 말씀은 재미라고 하셨지만, 이러한 깊은 뜻이 있을것이라고 생각했고, 그래서 부족한 실력임에도 나름대로의 반론을 써보고자 합니다.
그런데 문제는요, 제가 올렸던 글들이나 댓글들 중에서 깐순아빠님의 의견과 일치하는 부분들도 많았다는 점입니다. 그래서 반론을 제시할 부분은 제시하고, 의견이 같은 부분은 예전 글들의 내용을 근거로하여 글을 구성해보는 것이 좋지 않을가하는 생각을 하게 되었습니다.
1. 글의 범위에 대한 시각차이
우선 사칙 연산에 대한 글은 초3~4학년 이상의 초등학생을 대상으로 하고 사칙연산에 국한하여 쓴 글임을 글의 서두에 명시하였습니다. 저학년 아이들에게 사칙 연산에 접근을 이런식으로 하라는 것이 아닙니다. 물론, 뛰어난 아이들이라면 초등 저학년부터도 충분히 알아듣고 하겠지만, 보통 3~4학년이라면 사칙 연산에 대해서 정의와 개념에 충실한 제가 제시한 방법이 학부모에게나 아이에게나 큰 무리는 아닐거라 생각하기 때문입니다. 용어가 거창해서 그렇지 실제로 해보면 되는것이죠. 다음은 중등 게시판 3064번 글에 제가 단 답변 중의 일부입니다.
" 아직 초1입니다. 어릴때에는 수학적 실력보다도 수학 자체를 즐기게 해주시는 것이 맞지 않나 싶습니다. 수학을 좋아하게 되면 무엇을 해도 잘할 것입니다."
초등 저학년 연산에 대한 제 입장은 여유롭게 또 즐겁게 가자는 것입니다.
깐순아빠님께서 제시하신 반론은 연령적으로는 초등 저학년, 수학적 범위는 초등 전체의 연산으로 범위를 확대하여 제시하신 것이 아닐가 싶습니다. 아마도 정의를 이용하여 연산의 범위를 확장시키는 부분에 대해서 말씀하신 것 같은데, 이 부분에 대해서는 학년별로 구분하여 밑에 제 생각을 적어보겠습니다.
사칙 연산에 있어서 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 정의를 외우고, 이에 맞춰서 아이를 지도하는 것이 보편성을 헤칠정도로 높은 난이도라고 생각하지 않습니다. 교육에 관심이 있으신 분들이 모이는 곳이 이곳이고, 최소한 이곳의 학부모들에게는 이 정도의 접근법은 결코 어려운 것이 아닙니다. 완전히 수학을 모르겠어서 집에서 못하겠다는 분이 아니라면, 적어도 집에서 직접 가르치려는 생각이 있는 가정이라면 이 정도 수준에서의 사칙 연산에 대한 접근이 어렵지 않습니다. 더하기 빼기를 바꿔서 해보고 결과가 다르구나 알면 되는 것이고, 교환 법칙을 사용하여 연산이 더 쉬워질 수 있구나를 직관적으로 쉽게 알 수 있습니다.
정의에 따라서 연산을 하는것도 연산의 범위가 확대된다면 이야기가 달라지지만, 초3~4학년 아이에게 사칙 연산은 절대 어렵지 않다고 생각합니다. 무슨 고등학교 공리 개념 이용해서 깊게 들어가고 증명하고 따지고 하는것은 아니지 않습니까? 만약 이게 필요하다고 생각했으면 게시글로 제가 명시를 하지 않았을가 싶습니다. 따라서, 사칙 연산에 대해서 제가 제시한 접근법은 사칙 연산 외의 것들을 포함하는 개념과는 어느정도 분리를 해서 생각을 해봐야 할 것으로 생각합니다.
2. 1+1 = 2
이 부분을 언급하시면서 철학을 말씀하셨는데요, 이런 거창한 개념으로 다가가자는 이야기가 아닙니다. 좀 확대 해석이 된 것도 있겠고, 1+1=2의 증명은 수학적으로는 어느정도의 뒷배경이 있습니다. 사칙연산 글에서 에서로님과 주고 받은 댓글의 내용중에 '페아노의 공리를 가르치지 않는다, 초등 수학에서는 직관으로 대신할 수 있다고 생각했기 때문이다'라는 내용이 있습니다. 철학을 하자는 이야기가 아닙니다. 직관으로 대신할 수 있는 것은 대신하자는 취지인데, 지나친 개념의 깊이를 요구하는 것으로 오해된 것 같습니다. 초등생에게 페아노 공리를 말해주면 당연히 이해 못하지요.
글의 취지와는 상관 없습니다만, 그냥 재미로 간단하게 써봅니다. 1+1=2의 증명에 관해서는 약간의 역사적 스토리가 있습니다. 100년의 난제 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을가?라는 책에 보면, 영국의 논리학자이자 철학자이고 수학자였던 러셀과 동시대에 살던 사람으로 앙리 푸엥카레 사이의 설전에 관한 내용이 나옵니다. 푸엥카레는 논리는 수학에서 일부일 뿐이다라고 주장을 하였고, 러셀은 수학이 논리의 일부라고 주장했습니다. 둘 모두 세계적인 석학이라서 결국 끝까지 서로의 주장을 굽히지 않았지만, 책에 의하면 러셀은 프랑스에서 가장 무서운 사람이 푸앵카레라는 말을 했다고 하니, 주장은 다르지만 상대를 인정하는 아름다운 미덕도 있었으리라고 봅니다. 1+1=2의 증명에 관해서 왜 러셀이 직관만으로도 충분한 명제를 굳이 증명하려 했는지 정확히는 저도 모릅니다만, 이러한 뒷배경을 감안한 제 개인적인 추측으로는 수학에서 공리로 받아들이는 것도 논리학에서는 증명할 수 있다~는 식의 의도가 어느정도는 들어가 있지 않았을가 생각해봅니다.
3. 교과서에 관한 진실
초등학교 1학년 수학 교과서에서는 수와 숫자에 대한 개념을 다룹니다. 수는 무엇이고, 숫자는 무엇인지에 대해서 아이들의 눈높이에 맞춰서 최대한 쉽게 설명하고 있습니다. 깐순 아빠님의 의견처럼 개념을 공부하려면 교과서의 범위에서 국한되어야 한다는 말이 맞습니다. 그런데 문제는요, 학교에 입학해서 수학 과목에서 가장 먼저 배우는 수와 숫자의 차이나 개념을 초3~4 아이들에게 물어보면 모른다는게 문제입니다. 저는 제 아이들밖에 가르쳐보지 못해서 다른 아이들은 어떨지 모르겠습니다만, 제 아이들은 몰랐습니다. 다른 아이들에게 물어볼 수 있는 방법이 없다보니, 어른들은 어떨가라는 생각이 들었습니다. 제가 물어본 몇몇의 성인들도 뭐가 어떻게 다른지, 왜 다른 용어를 사용하는지에 대해서 알고는 있으면서도 명확하게 설명을 못하는 친구도 있었습니다. 저는 이게 문제라는 것입니다. 초1에서 다 배운 것인데, 이것이 교과서가 의도하는 것인데 막연하게 수와 숫자가 다른것은 알겠지만, 어떻게 왜 다른지를 모른다는 것은 교과서에서 중요하게 다루고 있는 개념도 다 배운 것이 아니라는 것입니다. 시중의 문제집들은 뭐 말할 필요도 없지요.
초1때에 배운 것을 초등3~4학년 수준에서 아이 눈높이에 맞게 정의를 설명해주는 것은 어떤 면에서는 후행학습의 측면도 있는 것입니다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 기초 사칙 연산도 모두 초3까지 나오는 개념입니다. 이런 예에서와 마찬가지로 사칙 연산에 대해서는 초3~4학년 수준에서 이런식의 정의를 내려주고 그것에 걸맞게 연산하는 연습을 시켜주는 것은 초5부터 나오는 무시무시한 약수와 배수나 분수를 응용한 연산을 하기 전에 확실하게 개념을 잡아주는 것이 좋다는 생각입니다. 이것이 교과서의 내용에 충실한 수학 공부이고, 사칙 연산의 정의나 교환법칙의 수준이라면 난이도 측면에서 집에서도 얼마든지 할 수 있는 보편성을 갖고 있다고 생각합니다. 교과서를 제대로 공부한다는 것은 이런 개념들을 자연스럽게 체득했다는 것인데, 그걸 모르면 문제가 있는 것 아니겠습니까? 초5부터의 연산은 이와는 좀 다르겠지만, 이 부분은 조금 있다가 쓰겠습니다.
4. 심화에 관한 생각
이 부분은 깐순 아빠님과 저의 생각이 일치하는 부분이 분명 있고, 다른 점이라면 저는 좀 더 확장해보자는 것이겠지요. 우선 제가 올렸던 글의 일부부터 올려봅니다. 초등 게시판 35952번 " 이 글이 수학으로 고생하는 분들께 힘이 되기를 바라며" 라는 글의 일부입니다.
"문제집 분류의 기준이 곧 내 아이의 기준은 아닙니다. 세상 사람 모두가 4단계 이상이 심화라고 해도 내 아이가 3단계도 어려워한다면 그 3단계가 내 아이에겐 심화인 것입니다. 심화는 수학을 잘하는데에 있어서 가장 중요한 것이긴 하지만, 진정한 심화의 의미는 어려운 문제를 푸는 것이 아니고 내 아이의 현재 능력보다 조금 더 높은 것에 도전해보는 것이 아닐가 합니다. "
또한 제가 올렸던 "초등 수학 문제집에 대한 정리"에 보면 각 출판사별 문제집들을 열거하고 소개하면서 학교 교과 범위는 어디까지만 보면 된다는 기준을 제시해 놓았습니다.
여기까지는 저와 깐순님의 의견이 거의 같은 것 같구요, 다른 점이라면 저는 개념을 확장하여 응용하는 문제도 풀어보는 것이 좋다는 점에서 다른 점이 있지 않나 싶습니다. 수학을 잘하려면 문제를 풀어내는 것도 중요합니다. 또한 습관을 그렇게 들이는 것도 중요합니다. 그래서 아이가 너무 힘들어져서 수학을 싫어하지 않도록 매우 조심스럽고도 신중하게 접근하여야 한다는 것입니다. 부모가 보는 내 자식의 수학에 대한 눈과 수학 공부를 하기 싫어하는 아이( 사실 수학 공부 좋아하는 아이가 몇이나 되겠습니까?)의 수학에 대한 눈 사이에는 분명 갭이 존재할 수 밖에 없습니다. 그렇지만 이런 부분들 때문에 아이의 수학 문제집 풀이를 교과서 이내로 제한하는 것이 바람직하다는 것은 좀 극단적인 측면이 있는 것 같습니다. 아이마다 능력이 다르기 때문에 다양성이 분명 존재하기 때문입니다. 위에서도 잠깐 언급했듯이 습관도 중요합니다. 기본 문제집만 계속하면서 수학을 공부해 간 아이들이 가장 어려운 고등학교 수학에서 바로 습관을 고치고 심화를 한다는 것은 거의 불가능에 가깝지 않나 싶습니다. 이러한 이유로 큰 무리가 가지 않는 범위에서라면 내 아이에 맞게 심화의 기준을 정하고 그 수준을 조금씩 접해보도록 하는 것이 매우 중요하다고 생각합니다.
5. 초5 이상의 연산에 대하여
저는 말빚을 중요하게 생각하는 사람입니다. 말을 하면 책임을 져야하는데 무책임하게 초4까지의 사칙 연산의 정의를 충실히 하라는 것만 제시해서는 안된다고 생각했습니다. 그랬기에 여러가지 연산책들을 소개한 것입니다. (제 글 여기 저기에 내용들이 널려 있어서 딱히 한곳을 지정하기가 그렇습니다.) 연산책을 직접 보면 그 책에 따라서 부모가 얼마든지 아이를 지도할 수 있습니다. 만약 이해가 안가는 부분이라면 주위의 지인에게 물어볼 수도 있고, 경우에 따라서는 그냥 넘어가도 됩니다. 왜냐하면 테크닉의 습득이기 때문입니다. 다만 테크닉의 습득하는 과정에서 생각을 해보게 하면 더 좋겠지요. 부모가 아이를 집에서 지도할 생각이 있다면 적어도 이정도의 노력은 해야한다고 생각합니다. 부모는 아무것도 하지 않고, 그냥 상식적으로 갖고 있는 생각만으로 수학을 가르치겠다고 하는 것은 욕심이 과한 것이 아닐가 합니다. 제 사견입니다만, 부모님들이 연산에 대한 방법적인 측면을 몰라서 이런 진행을 못하는 것이지, 실력이 부족해서 못하는 것은 아닌 듯 싶거든요. 또 이게 제가 이런 류의 연산법을 소개한 이유이기도 합니다. 이런 방법이 있고, 나는 효과가 좋았으니 해보고 싶으시다면 한 번 해보시는게 어떨가요? 라는 생각 말입니다.
책의 내용이 고등수학처럼 방대한 것도 아니고, 하루 20분씩만 해도 3달이면 충분히 보고 익힐 수 있는 분량입니다. 아이가 학교에 가고 없는 시간에 그날 배울것을 미리 부모가 공부할 수도 있고, 차가 막히는 출퇴근 시간에 지하철 안에서 볼수도 있습니다. 이런 과정으로 잘 연결이 되려면 위에서 말씀드렸던 대로 초1~3까지의 사칙 연산에 대해서 초등 수준에서의 명확한 개념을 잡고 가는 것이 더 유리하기 때문입니다. 사칙 연산에 대한 정확한 개념을 알고 나서 연산을 빠르게 할 수 있는 일종의 테크닉을 갖추자는 것이죠.
이런 커리를 제시하게 된 계기는 아이들에게 학습지같은 연산만 반복적으로 시키는 것은 아이가 수학에서 멀어지는 계기가 될수도 있다는 생각이 강했기 때문입니다. 반복 연습만이 연산을 잘하게 만드는 것은 아닙니다. 오히려 연산에서의 성장을 저해한다고 생각합니다. 빠른 연산, 정확한 연산에 이르는 길은 반복학습만이 능사가 아니라는 생각입니다. 초등 아이들이 수학을 가장 싫어하는 이유중의 하나가 지겨운 연산때문이 아닐가 싶습니다. 그런데 연산 없이는 수학을 할 수가 없지 않습니까? 그래서 테크닉을 배우고, 개념을 알고 이렇게 접근하면 그나마 지루함을 줄일 수 있고, 보다 효과적인 연산을 할 수 있다고 믿었고, 그래서 제 아이들을 이렇게 가르쳤습니다. 제 아이들에게서만, 혹은 저와같은 부모에게서만 나오는 성과인지는 모르겠으나 ( 그렇다고 저나 제 아이들이 수학을 잘하거나 잘났다는 의미는 절대 아닙니다.) 분명 효과과 굉장했습니다. 제 판단으로는 책을 직접 본다면 어느정도의 보편성을 갖고 있다고 생각하구요, 어떻게 투표에 올릴 수도 없는 문제라 이 부분에 대해서는 이 정도로만 하구요.
만약 제가 제시한 연산의 방법에 보편성이 없다면 아이들에게 계속해서 세로셈이나 지루한 반복 연산을 시키는 것이 정도라는 말인데, 이건 아이들에게 너무 잔인합니다. 이게 아니라면 혹시 제가 모르는 연산을 지루하지 않으면서도 더 훌륭하게 할 수 있는 방법이 있다면 알려주십시요. 다른 분들께도 큰 도움이 되리라고 생각하며, 반론 교환의 취지와도 잘 부합하는 것이 아닐가 합니다.
6. 사고력에 대한 생각
이 부분에 대해서는 반론이 될 근거를 사칙연산의 글에서 찾지 못했는데요, 깐순님의 뜻은 사고력에 대한 폐해에 대해서 어떻게 생각하는가를 저에게 묻는 것으로 여기고, 제 생각을 써보도록 하겠습니다. 사고력에 대해서 제가 올렸던 답글중에서 찾아보려고 했는데, 찾기가 쉽지 않네요. 어느 글에 들어있는지 모르겠어서 근거를 제시하지는 못합니다만, 기억을 더듬어보면 아래와 같은 내용으로 글을 썼던 적이 있음을 분명 기억하고 있습니다.
"사고력 문제집을 푼다면 많은 생각을 하게 만든다는 자체로 의미를 두어야 합니다. 사고력을 키우면서 점수에 연연하는 것은 올바른 접근이 아니며, 사고력의 원래 취지에도 위배된다고 생각합니다."
또 사칙연산 글에 shawn님의 사고력 학원에 대한 답변에는 다음과 같은 요지의 글귀가 있습니다.
"사고력 학원들의 커리큘럼은 사고력 증진보다는 재능있는 아이를 찾아내는 커리큘럼에 가깝다고 보며, 내용 또한 선행아닌 선행을 하고 있다고 생각합니다. 이럴바엔 차라리 선행으로 진도를 나가면서 제대로 배우는 것이 낫지 않나 싶습니다."
제시하신 문제 135를 연속수의 합으로 나타내어라. 라는 문제에 대해서 교과 과정에서 접근할 수 없는 것인가를 한번 생각해 보았습니다. 약수와 배수에서 나머지를 가지고 접근이 가능하더군요. 2로 나누었을 때의 나머지, 3으로 나누었을 때의 나머지 이런식으로 좀 무식하지만 해보고 나머지를 이리 붙여보고 저리 붙여보면서 찾을수는 있겠더라구요.
초등에서 사고력과 직관의 차이가 정확히 무엇인지 제가 실력이 짧아서 정확하게 구분할 수는 없겠지만요, 직관은 일정부분 타고나야 하는 것이 아닐까 그리고 사고력은 어느정도의 훈련도 필요한 것이 아닐가 싶습니다. 그렇지만 위에서 말했듯이 사고력 문제집 공부 자체가 목적이 되어서는 안된다는 생각입니다. 말씀처럼 영재 교육원 합격을 위해서, 경시 대회에서 좋은 성적을 거두기 위해서 다른 문제집들 대하듯이 채점하고 점수 메기고 해서는 안된다는 것이죠.
시간 효율성 측면에서도 사고력을 신장시키는 것은 선행의 속도를 높이는데에도 많은 기여를 한다는 생각입니다. 예를 들자면 사고력 유형중에서 도형의 겟수세기같은 것이 있습니다. 이걸 답을 맞추기 위해서 풀면 상당히 어려운 문제입니다. 그렇지만 내가 몇개까지 찾아내는가에 주안점을 두고 문제에 접근을 한다면 분명 선행에도 도움이 되지 않을가 합니다. 중등부터 다짜고짜 나오는 합동이나 닮음을 어려운 수학문제에 맞추어서 갑자기 접근하려면 어려움이 많습니다. 닮음만 찾는다고 문제를 푸는 것이 아니기 때문이죠. 계산도 해야하기 때문에 더 어렵게 느낄 수 있습니다. 따라서 그림을 찾아내는 도형의 겟수세기나 숨은 그림 찾기, 100피스 퍼즐 맞추기 같은 것은 즐겁게 이러한 능력을 키울 수 있다고 생각합니다. 그림에서 여러가지 도형의 모습을 찾아내는 훈련을 했다는 자체만으로 부모가 만족한다면 선행에도 분명 도움이 되는 부분이 있다고 생각합니다. 물론 아이큐 테스트 같은 필요없는 부분들도 많습니다만, 이것을 구분한다는 것은 상당히 어렵기에 보통의 집에서 사고력 문제집을 문제 선별까지 해가면서 진행하기는 어려울 것이라는 생각입니다.
쓰다보니 너무 길었던 것 같네요. 사실 이 글을 쓰면서도 대부분은 "도대체 뭘 반론하라는 것이지?"라는 생각이 많이 들었습니다. 서로 생각과 결론이 크게 다르지 않다는 느낌을 받았고, 보편성에 관한 이슈와 소소한 수학에 대한 생각의 차이외에는 딱히 제가 반론이라고 느꼈던 부분도 없었기에 글이 반론적 성격보다는 제 생각을 정리했다는 측면이 더 강하게 되어버렸네요. 어쩌면 제가 깐순님처럼 반론을 즐기고 좋아하는 학구적 성격이 부족하기 때문은 아닐가 생각해봅니다.
이주리 
초등 연산에 대한 학년별 구분과 접근
노래 한곡 또 올려볼까요?