쑥쑥몰
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모처럼 맞은 오프를 쑥에서 날리고 있습니다. 그렇지만, 엄마표 수학으로 고생하시는 분들께 도움이 될 수 있다는 생각에 거창한 사명감(?)을 가지고 두번째 글을 시작해볼가 합니다.
1. 분수의 개념
분수의 개념은 브죵님이 올리신 "리치흐름 답글"이라는 글에 나와있습니다. 그 내용을 참고 하시구요, 그 중에 중요한 내용 두개를 다시 적어보도록 하겠습니다.
a 나누기 b : a에서 b를 몇번 뺄 수 있는가
예) 6 나누기 2 = 3, 6에서 2를 3번 뺄 수 있다.
정의1)) a/b : a(분자)에서 b(분모)번을 빼면 0이 되게 하는 크기
예) 사과 10개를 3명이 나누어 먹으려면 얼마씩 나누어줘야 합니까?
분수의 정의에 따라서 분자는 10이고, 분모는 3이다. 따라서 답은 10/3 이다.
여기서부터 이어서 분수 개념을 설명하겠습니다.
우선 문제를 하나 봅니다.
문제1)) 사과 6개를 2명이 나누어 먹으려고 합니다. 몇개씩 먹으면 됩니까?
이 문제는 나눗셈 문제입니다. 그런데 이걸 분수의 개념으로 잡으면 나눗셈과 달리 편리한 점이 하나 더 생기게 됩니다. 그것은 분모와 몫이 서로 교환해서도 성립된다는 것입니다.
6/2 = 3, 6/3 = 2
위의 두 식을 잘 관찰해보면, 분모와 몫이 서로 교환되고, 6은 그대로 있다는 것을 알 수 있습니다.
두번째 식을 문제로 만들면 다음과 같은 문장이 됩니다.
문제2)) 6개의 사과를 3개씩 먹었더니 남은 것이 0이었습니다. 나누어먹은 사람은 모두 몇명입니까?
이와 같이 분수와 몫은 교환해도 성립할 수 있습니다. 왜 이렇게 되는 것일까요? 이렇게 되는 이유는 분수의 정의에서 찾을 수 있습니다. 분수의 정의는 전체(분자)에서 빼는 횟수(분모)를 하게 해주는 크기입니다. 여기서 중요하면서도 약간 헷갈릴 수 있는 개념 하나가 등장하게 됩니다. 바로 뺀다라는 의미입니다.
문제 1에서는 빼는 것이 사과입니다. 문제 2에서는 사람입니다. 아이들은 이게 헷갈리는 것입니다. 분모는 빼는 횟수를 의미하는 것이죠. 이 부분에 대한 개념을 잘 잡아야 합니다. 이 개념을 잘 잡으면, 분모와 몫이 서로 교환해서 자유롭게 나누어질 수 있다는 의미입니다.
개념이 어렵기 때문에 기하적으로 이 문제에 접근해봅니다. 가로의 길이가 3이고, 세로의 길이가 2인 직사각형 두개를 그립니다. 먼저 첫번째 직사각형에 가로줄을 그어 2등분 합니다. 그럼 1*3 직사각형 두개가 생기게 됩니다. 이 두개가 바로 분모가 되는 것이죠. 전체 직사각형에서 1*3 직사각형을 2번 뺄 수 있습니다. 이 두번이 바로 분모가 되는 것이죠. 그리고 1*3 직사각형의 넓이가 답이 되는 것입니다. 마찬가지로, 두번째 직사각형에는 세로줄을 그어 3등분 합니다. 이 세번이 바로 분모가 되는 것이죠. 그리고 답은 1*2 직사각형의 넓이가 되는 것입니다.
이 과정을 통해서 분수는 다음과 같이 정의 내릴수도 있음을 알게 됩니다.
정의2)) a/b : 전체 (분자)에서 나누려는 크기(분모)를 뺀 횟수
이 개념이 일반적으로 알고 있는 개념입니다. 분수는 이 개념과 이 개념의 역이 함께 성립할 수 있기 때문에 나눗셈에 비해서 편리하고, 계산도 빠르게 할 수 있는 것입니다.
마지막으로 이 문제도 내어봅니다.
문제3)) 철수와 영희가 사과를 3개씩 먹었습니다. 사과는 모두 몇개입니까?
이 세문제를 통해서 아이들은 분수와 나눗셈, 곱셈 사이에 어떤 관계가 있다는 것을 알게 됩니다. 이 내용을 문제 풀이를 통해서 알도록 유도해야합니다. 기초적인 분수 문제는 다음의 세가지 요소들로 이루어지게 됨을 알 수 있습니다. 전체(분자), 빼는 횟수(분모), 크기(몫)가 그들이며, 이 세가지중에 두개의 조건을 주고 나머지 한개를 구하라는 구조로 되어 있다는 원리도 함께 가르쳐주면 됩니다. 이 개념을 알았으면 다음과 같은 응용 문제를 내봅니다.
문제4)) 사과 20개를 가지고 3명이 나누어 먹었더니 2개가 남았다. 한 사람이 몇개씩 먹었는가?
위의 문제들과 다르게 나머지가 있습니다. 나머지때문에 풀기가 어렵습니다. 그럼 어떻게 하죠? 나머지를 없앱니다. 이것을 설명하려면 약간의 기술이 필요합니다. 먼저 사과 20개를 그립니다. 위부터 세개씩 나열하며 사과 20개를 그리면, 맨 아래에는 두개의 사과만 남게 됩니다. 여기서 두가지 방법이 있습니다. 전체에다가 한개를 더해서 3명의 짝을 맞출수도 있고, 반대로 전체에서 2개를 빼서 짝을 맞출 수도 있죠. 첫번째 방법으로 하면 나중에 몫에서 한번을 빼줘야하기 때문에 약수와 배수의 문제가 되버립니다. 그렇지만 이렇게 설명을 함으로서 약수와 배수의 기초개념을 함께 익힐 수도 있는 것이죠. 두번째 방법으로 하는 것이 초4에게 맞는 방법입니다. 전체 20개에서 두개를 빼버리고나면 3개씩 짝이 지어지게 되는 것이죠.
이제 약수와 배수가 왜 초5 1학기에 있는지 이해가 되십니까? 교과서를 집필하신 분들은 이런 부분들까지 다 고려해서 만들어 놓으신 것이라고 전 생각합니다.
2. 가분수와 대분수
분수에는 종류가 굉장히 많습니다만, 초4에서 주로 다루는 가분수와 대분수의 개념에 대해서 설명해보고자 합니다. 다음의 분수 두개를 먼저 보겠습니다.
3과 1/2 , 7/2
첫번째 것을 대분수라고 부르고, 나중것을 가분수라고 부릅니다. 이 둘은 같은가요, 다른가요? 답부터 말씀드리면 둘의 크기는 같습니다. 그렇지만, 의미적으로는 다릅니다. 이걸 아이들이 잘 구분할 수 있도록 설명에 신중을 기하셔야 합니다. 아이들에게 설명할때에 가장 좋은 것은 역시나 먹는 것과 연예인입니다.
먼저 쵸콜릿 7개를 줍니다. 그리고 이걸 둘이 나누는데 방법이 중요합니다. 너 하나, 나 하나, 너 하나, 나 하나, 너 하나, 나 하나~~ 어랏!! 한개가 남습니다. 분수의 정의2))에 의해서 이 한개( 전체이므로 분자)를 둘로 나누니까(분모) 1/2로 표시할 수 있습니다.
이제 대분수가 무엇인지 감이 오십니까? 대분수는 위에서 예를 든대로, 쉽게 나눌 수 있는 것은 나누고, 이것을 자연수 3으로 표시한 것입니다. 그리고 나누기 곤란한 나머지 한개를 1/2라는 분수를 사용해서 나타낸 것이죠.
이 쯤 되면 대분수와 가분수의 차이가 무엇인지 눈치를 채셨을겁니다. 가분수 개념을 이용해서 아이들이 쵸콜릿을 나누는 과정을 보시기 바랍니다.
쵸콜릿이 7개가 있네. 세기 귀찮으니까 일렬로 늘어뜨리고, 길이가 같도록 하면 둘로 나눌 수 있겠지.
이게 가분수의 개념입니다. 전체를 7로 보고 2로 나눈 것이죠. 실제로 복잡한 계산에서 가분수를 대분수보다 더 많이 사용하는데, 다음 질문을 보면 알 수 있습니다.
초쿌릿이 301개가 있어. 대분수 개념으로 하나씩 세면서 나눌래, 아니면 가분수 개념으로 줄세워서 나눌래?라고 물어보면 아이들의 대답은 뻔합니다. 그거 언제 다 세고 있냐고... 그냥 줄 세워서 나눈다고.
다시 가분수와 대분수를 자세히 살펴봅니다. 대분수 앞에 3이 왜 나와있을가요? 어떻게 7/2는 3이 되는 것일까요? 이것은 너 하나, 나 하나라는 한 번의 행위를 말하는 것입니다. 이 한번의 행위를 3번을 반복해서 앞에 3이라는 것이 나오게 되는 것이죠. 이것을 통해서 아이들은 다음과 같은 규칙을 알게 됩니다.
분자와 분모가 같으면 1이다. ( 이 개념은 약분의 기초개념이 되므로 매우 중요한 규칙입니다. )
위에서 설명했던 내용들을 정리해봅니다.
1. 분수의 계산에서 전체(분자)는 변하지 않는다.
2. 분수의 계산에서 피제수(분자)와 제수(분모)와 몫 사이에는 직사각형의 넓이와 같은 관계가 있다.
3. 초4 분수 문제는 전체(분자)와 빼는 횟수(분모)와 크기(몫)의 세 요소중 2개를 주고 나머지 한개를 구하라는 개념을 요구한다.
4. 가분수와 대분수는 전체 분수의 크기는 같으나 의미적으로는 다른 방법이다.
분수 개념을 잡기 시작했던 제 경험담이었습니다. 조만간 시간이 나는대로 다음 글을 올리도록 하겠습니다.
오늘은 여기까지... 이만~~
이주리 
초등 분수 (2)
노래 한곡 또 올려볼까요?