쑥쑥몰
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심하게 뒷북인 글이 되겠지만,
좋은 의견인 듯한데, 승재영재맘님의 의견은 파묻히는 듯하여 답글로 올려요.
요즘 맘이 바빠서 휘리릭 다녀가긴 하는데 긴 글들은 못읽었네요. 이제야 감사한 맘으로 읽어봤습니다 ^^
리치흐름님의 수학에 관한 글들이 여러 생각도 하게 하고 요즘 아이들 수학이 이렇구나 다시 반성도 하게 되고, 시간 내어 그렇게 풀어주시니 참 감사합니다. 그렇긴 한데, 승재영재맘님의 지적도 전 참 공감이 됩니다.
아시는 분들은 아시겠지만,... 전 기본적으로 선행을 막습니다.ㅎㅎㅎ (본인이 간절히 원할 때를 제외)
여러가지 이유가 있지만, 승재영재맘님이 마지막에 하신 말씀, 요령을 배우면 안된다는 취지도 있습니다 -물론 리치흐름님이 그런 의미로 하신 말씀은 아니겠지만, 예로 드신 분수계산에서 두자리수 곱셈을 하는 노가다를 시키는 것보단 약수 개념의 잠깐 선행으로 지혜롭게 문제를 해결할 수 있다, 그래서 개념을 제대로 파악하는 것이 중요한 것이라 라는 요지의 글은 뜻하지 않게 그런 의미가 되기도 합니다 ^^;; 실제로 부모들이 잘 인식하지 못하는 선행의 단점은, 설사 아이가 이해했더라도 내 것이 되지 않은 상태에서, 요령이 될만한 상위개념이 들어앉아 제 단계는 익지 않은 상태로 편하게 새로운 것이 진행된다는 데 있어요.
의미도 모르고 무작정 여러수 곱하는 훈련만 하는 건 안좋겠지만, 전 무자비한 연산훈련도 반대하지만,
개념만 알아서도 안되지요. 4학년 기본 과정 중 하나인 두자리수 곱셈을 꾀부리지 않고 할 줄 알아야 합니다.
그걸 일일히 계산하면서 심화문제에 접근하는 과정이 있으니 저절로 약수의 개념이 들어찹니다.-뭐, 적어도 혼자 낑낑대고 풀었던 저희 아이 경우 그렇더라구요. 심하게 오래 걸리는 심화문제는 체크하고 담에 하라고 합니다. (전 초등시절에 공부하다 우는 꼴은 못봅니다) 조금 후엔 또 그만큼 머리가 자라서 조금 쉽게 풀게 되구요. 그러는 과정에서 두자리 수 곱셈은 자기 것이 되니다. 담에 약수 개념이 제대로 차면 예로 드신 문제의 경우 대각선으로 약분하고 나면 쉬워지는 거... 먼저 가르치면 지금만큼 곱셈 할런지요?????
필요한 훈련을 제 때 제대로 할 때, 그보다 하나 업그레이드된 개념이 제대로 들어찰 두뇌의 용량이 만들어진다고 믿습니다. 이제 5학년된 클레어, 지난주 첫 수학시간에 선생님께서 4학년 수학 평가를 하시며 약분해서 풀어라 라는 주문을 했다고 합니다. 아이들이 다 약분이 뭔지 알아듣는 와중에 자기는 약분이 뭔지 몰라서 좀 오래 걸렸다네요. 2주 후면 영재원 수업도 시작되는데, 반아이들도 다 아는 선행 개념을 모르는 상태로 영재원 수업 괜찮을까...? 걱정하네요. 그래서 그 문제는 못풀었냐? 다른 방식으로 낑낑 (노가다로?) 풀었답니다. 그래서, `첫시간에 선생님이 약수 설명하시는 게 이해가 안되더냐? 어렵더냐? 안어렵더랍니다. 그러면 그렇게 해서 점점 잘하면 된다, 초등수학이 별거냐 했더니 에그, 엄마 또 잘난척 하시네 하며 활짝 웃습니다.
분수가 어려우려면 어렵겠지요. 저는 심화문제 직접 풀거나 하지 않아서 잘 모릅니다.
리치흐름님꼐서는 여러 수준높은 문제로 개념이 흔들리고 거기서 고생하는 여러 케이스들을 염두에 두시면서, 본인은 잘하시면서도 어렵다, 어렵다, 말씀을 하신 듯합니다. 전 반대로 쉽다, 쉽다 얘기하려 합니다.
교과과정은 그 나이대의 평균적인 두뇌를 기초하여 만들어집니다. 처음에 쉽게 접근할 수 있습니다. 공교육이 아무리 거지같아도 부모가 한번만 체크하면 문제없을 정도의 수준입니다. 어렵게 느껴지는 것은 전 단계에서 흔들리거나, 수업에 흥미가 없어서 집중하지 않거나, 갑자기 단계를 뛰어넘는 심화문제를 풀어야 하기 때문이고, ....점점 어려워지는 문제들은 처음에 쉬웠던 게 노가다롸 개념이해로 해결되면서 아주 조금씩 도전적이 될 뿐입니다.
수학을 두려워하지 않도록 해주어야 하지 않을까 싶어요. 그리고 고생하는 것두요.
어려서 고생은 힘들여 두자리 수 곱셈을 반복적으로 하는 것보다, 하기 싫은 것을 억지로 하는 것, 내가 이해했는지 아닌지도 모르는 상태에서 다른 진도가 나아가버리는 게 아닐까 싶습니다.
승재영재맘님처럼, 간결하게 한마디면 될 이야기를 무쟈게 길게 썼네요.
오해가 없길 바라는 맘에서 그랬습니다. 리치흐름님이 선행을 강조한 걸로 이해하고 거기에 달려드는 글 아닙니더 ㅎㅎ 분수연산을 할 때도 그 이치와 개념을 알려주어야 할 중요성을 강조하셨고, 충분히 공감하구요... 그렇지만 동시에 똑같이 중요한 점을 승재영재맘님이 제기하셨는데, 마치 리치흐름님을 공격한 듯한 모양새로 묻히는 게 아쉬워서 껴들었네요. 길다, 길다...
토욜도 일감을 잔뜩 싸갖고 와서리...다 못하면 커피 내기까지 했는데... 이 오지랖을 어찌 한다요??????? ㅜㅜ
: 승재영재맘님의 글입니다.
>
> 초 4때는 큰숫자 특히 두자리 숫자와 한자리 또는 두자리 숫자의 곱셈을 해야 합니다.
> 그걸 노가다라고 하면.. 안됩니다.
> 사칙연산 초1때 열심히 하듯 구구단으로만 되는 곱셈말고..
> 어려운 것도 하고 넘어가야 됩니다.
> 그래야 두자리 나누기 한자리를(또 세자리 나누기 두자리도) 연산도 해야하고
> 나누기도하고 나누기를 알아야 분수를 압니다.
>
> 큰수를 곱하고 나누고 할줄알 면서
> (약수 배수 알고 쉽게 약분하고 기약분수 만들고..)분수와 분수를 곱하는 건 원리를 알고 쉽게 나오는겁니다.
> 요령만 배우면 안됩니다.
>
> 리치 흐름님의 글입니다.> 1. 들어가며> > 집에서 엄마표로 아이 수학을 가르치시는 많은 분들이 분수에서 설명하기를 참 어려워하는 것 같습니다. 브죵님의 글도 마찬가지였구요. 그동안 제가 올렸던 글들은 사실 어찌보면 상당히 추상적이고 수박 겉핥기 식이었어서 깊이도 없을 뿐더러 뜬구름 잡는 소리처럼 들리기도 했을 거 같습니다. 저는 집에서 아빠표로 아이들과 수학을 함께 공부해가고 있는 평범한 직장팜입니다. 수학을 전공한 것도 아니고, 저 역시 수학에 대해서 오개념도 많을 것이라고 추측하고 있습니다. > > 실력도 부족하고, 저 역시 아이들과 수학을 함께 공부하는 입장에서 남에게 무엇을 가르쳐준다는 것은 말이 안되는 일이죠. 그렇기에 제가 쓰고자 하는 글들을 리치흐름이라는 평범한 아빠가 아이들과 수학을 공부하면서 겪은 경험담이려니 생각해주시면 좋겠습니다. > > 혹여 제가 써가는 글들에서 수학적 오류가 발견된다거나해도 너그러운 마음으로 이해하여주시고, 또 어떤 부분에서는 초등 학생들에게 개념을 잡아주다보면 오류를 알면서도 넘어가는 부분들도 생기더라구요. 이런 점들은 넓으신 이해와 아량을 바랍니다. > > 2. 대한 민국 초등생들의 분수를 공부하는 환경> 제목이 좀 거창합니다만, 우리나라 초등생들은 초4부터 본격적으로 분수를 접하게 됩니다. 아이들에게 분수를 가르치려면 교과서가 어떤 과정으로 분수를 다루고 있는지부터 봐야합니다. 초4에서는 분수의 개념을 다룬 후에 간단한 분수의 연산이 나옵니다. 초5 교과서 1단원은 약수와 배수입니다. 그리고 분수의 약분과 통분, 분수의 곱셈과 나눗셈, 소수등이 나옵니다. 초6 교과서에서는 비와 분수의 차이점과 응용등을 다루고 있습니다. (제가 우리 아이들과 공부할때는 이런 구조였습니다. 지금은 바뀌었겠죠.) > > 초등 저학년 아이들을 보면 사칙 연산중에서 유독 나눗셈을 아이들이 어려워하는데(우리 아이들도 그랬습니다,) 나눗셈에 대한 개념 정립이 잘 안되어있는 상태에서 분수를 접하니 안그래도 어려운 분수가 더 여럽게 느껴지는 것입니다. 나눗셈을 아이들이 어려워하는 가장 큰 이유는 나눗셈의 정확한 정의를 모르기 때문입니다. > > 제가 쑥쑥에 올렸던 글들을 보면 많은 부분에서 정의의 중요성을 언급하고 있습니다. 아마도 이런 말들을 많이 들어들 보셨을거라 생각합니다. > > "수학은 정의로부터 시작하는 학문이다."> > 맞습니다. 수학은 정의로부터 시작하는 학문입니다. 그렇다면, 정의를 모르고서 어떻게 그 다음과정을 이해하고, 응용할 수 있겠습니까? 혹자는 초등생들에게 정의를 가르친다는 것은 어려운 일이라고 반문할 수도 있겠습니다만, 우리나라 교과서의 주된 내용이 무엇인지 아십니까? 바로 이 정의를 가르치는데 심혈을 기울이고 있다는 것입니다. 초등 수학 교과서 뿐만 아니라, 중등, 고등 교과서 모두 그렇습니다. 정의를 가르치고, 간단한 예시를 통하여 개념을 잡도록 하는 것입니다. > > 수와 숫자의 차이를 말로 설명할 수 있습니까? 이거 초등학교 1학년 교과서에 나옵니다. 사칙 연산의 정의를 정확히 말할 수 있습니까? 초등 저학년 내내 하는 것이 이것입니다. 그렇다면 정의란 놈이 뭘까요? 초등생들에게 거창하게 정의라는 용어를 사용하면 왠지 어렵게 느낍니다. 그래서 뜻이라는 용어를 사용합니다. 이 용어는 이런 의미이다~라고 가르쳐주는 것이죠. > > 이쯤되면 정의의 중요성을 감지하셨을 겁니다. 그럼 아이들을 곤혹스럽게 만드는 나눗셈은 뭘까요? 이 부분은 설명을 생략하겠습니다. 자세한 내용은 브죵님이 올리신 "리치흐름님 답변"이라는 글을 보시면 되겠습니다. > > 2. 첫번째 비극의 시작> 인터넷에서 초4 수학을 가르치는 많은 엄마, 아빠들이 이따금씩 올리시는 글들을 보면 반응은 하나같이 같습니다. 어렵다, 어떻게 설명해야할지 모르겠다, 반복을 무수히 했는데도 개념을 못잡는다 등등등....> > 분수가 어려운가요? 물론입니다. 저도 아직 분수를 잘 알고 있다고 생각하지 않습니다. 굉장히 난해한 개념이라고 생각합니다. 이렇게 어려운 분수를 잘 공부하려면, 초1~초3에 나오는 용어들의 뜻을 우선적으로 정확히 알아야하고, 문제 풀이를 통해서 수의 연산을 할 줄 알아야합니다. 이 두가지중에서 한가지라도 부족한 부분이 있다면, 분수 공부는 언감생심입니다. 안그래도 어려운게 분수인데, 기초도 없이 어떻게 분수를 공부할 수 있겠습니까? 분수를 공부하기에 앞서서 이 두가지부터 잘 충족시켜주셔야 합니다. 이 두가지가 충족되지 않은 상태에서 분수 공부를 시작하기 때문에 아이가 수학을 싫어하게 되는 것입니다.> > 저도 처음에 아이들과 수학을 공부할때에 이 첫단추를 잘못 꿰어서 애를 먹었던 적이 있습니다. 당시로서는 그 이유를 알지 못했기 때문에( 사실 누가 가르쳐주지도 않고, 이런 부분들에 대해서는 학원들에서는 신경도 쓰지 않는 경우가 대부분입니다.) 엄청 고생을 했습니다. 한참의 고민과 방황(?)끝에 활로를 찾았지요. 그것은 후행학습이었습니다. > > 후행학습은 매우 중요합니다. 선행이 판을 치는 요즘 분위기에서 무슨 후행학습이냐 반문하실수도 있겠습니다만, 수학은 연결고리 학문입니다. 앞의것을 모르면 뒤의 것을 알수가 없습니다. 고등학교에 입학할때까지 그저 그런 성적을 가진 학생이, 고등학교부터 열심히 공부해서 좋은 대학을 갔다는 기사가 이따금씩 실리곤 합니다. 교육에 관심이 있는 분이라면 누구나 한번쯤은 이런 기사를 접해본 경험이 있을겁니다. 이 학생들이 수학 공부를 할때에 공통점들이 무엇인지 혹시 관심을 가져 본 적이 있으십니까? 이 학생들의 공통점은 후행 학습을 했다는 점입니다. 자신의 수준에 맞게, 모르는 것부터 차근차근 알아가기 시작했다는 것이죠. > > 결론적으로 말해서, 후행, 선행을 굳이 구분할 필요가 없다는 말입니다. 아냐, 모르냐 이것이 중요한 것입니다. 모르면 공부해야 합니다. 지금 내 아이가 몇학년 것을 공부하고 있는가는 중요하지 않습니다. 배운 것을 정확히 알고 있는가가 중요한 것입니다. 다시 한번 말씀드립니다. 분수는 어렵습니다. 그렇기 때문에 분수를 공부하기에 앞서서 초1~초3까지 용어들의 정의와 개념들을 교과서로 다시 한 번 확인하시고, 연산에 큰 문제는 없는지 꼭 확인하시기 바랍니다. 둘 중 하나라도 안되어 있으면 저처럼 후행학습 하십시요. 안그러면 첫번째 비극이 시작될 수도 있습니다. > > 3. 두 번째 비극의 시작 > 글의 서두에서 분수가 교과과정에서 어떻게 나누어 가르치고 있는지를 말씀드렸습니다. 이것을 말씀드린 이유를 설명하겠습니다. 초4에서는 분수의 개념과 간단한 분수의 연산이 나옵니다. 복잡한 계산이나 통분, 약분등은 초5에 나옵니다. 왜냐하면, 약분과 통분, 복잡한 분수의 계산은 약수와 배수의 개념이 없이는 이해하기도 어려울 뿐더러 굉장히 지루한 연산이 되버리기 때문입니다. > > 초4 문제집들에서 분수 문제들을 유심히 분석해보신 적이 있으십니까? 초4 심화 문제집들의 분수 문제들을 보면 약수와 배수가 없이는 엄청난 노가다가 되버리는 문제들을 찾는 것이 절대 어렵지 않습니다. 교과서에서는 분명 분수의 개념과 간단한 계산만을 가르치고 있는데, 심화 문제집들은 초5를 공부해야만 간단하고 쉽게 풀 수 있는 문제들을 아무렇지도 않게 내고 있습니다. > > 문제를 하나 보겠습니다. > 5/24 곱하기 4/25는 얼마인가? > > 심화 문제집들에는 비교도 안될 정도로 쉬운 문제입니다. 이 문제를 어떻게 풀겠습니까? 곱하기를 할때에 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱해서 계산하라고 교과서는 가르치고 있습니다. 그럼 이거 곱합니까? 아이들은 이 문제를 풀려면 24 곱하기 25를 해야하고, 또 5곱하기 4도 해야합니다. > > 초5에서 약수와 배수를 배우고 나면, 서로 약분을 해서 간단히 곱합니다. 5/24의 분모 24와 4/25의 분자 4가 약분되고, 역시 5와 25도 약분됩니다. 그러면 1/6 곱하기 1/5로 수의 크기를 줄인 후에 간단하게 계산할 수 있습니다. > > 한국의 수학 교과서들은 이런 부분들을 잘 감안하여 적절한 난이도로 조절을 하고 있습니다. 교과서에서 요구하고 있는 부분들과 시중의 문제집들 사이를 약수와 배수라는 괴물이 갈라놓고 있는 형국입니다. 두번째 비극의 시작은 바로 여기서 시작됩니다. 초3까지 연산도 잘해내고 지겨워도 잘 참던 아이가 초4 문제집을 만나면서부터는 펜대 굴리기가 싫어지는 것이죠. > > 두번째 비극은 이렇게 시작되는 것입니다. 초4 심화 문제집들은 약수와 배수의 의미를 알고 접해야 아이들 노가다 안한다는 겁니다. 초4 심화 문제집을 풀려야겠다면, 초5 약수와 배수를 먼저 선행을 하십시요. 그래야 아이들이 고생 안합니다. > > 첫번째 글이 좀 지루했을 겁니다. 그렇지만, 분수를 설명하기에 앞서서 전체적인 교육 과정의 흐름을 알고, 아이들의 입장에서 생각해보자는 취지였습니다. 수영선수가 물에 들어가기 전에 준비운동은 하는 것과 같은 이치라고 생각해주시면 되겠습니다.
노래 한곡 또 올려볼까요?