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중등수학과 고등수학의 차이

글쓴이 리치 흐름

등록일 2016-03-07 18:53

조회수 6,059

댓글 20

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보통 고등학교들의 수학 평균점수는 50점을 전후로 나타나는 것이 보통입니다. 시험이 어려운 학교는 30~40점대, 시험이 쉬운 학교는 60점대까지 올라가기도 합니다. 중학교까지 90점 이상을 항상 유지하던 아이들이 고등가서 60점대 점수 받는것은 다반사인데, 어떤 학생의 경우는 중학교 점수에서 조금 떨어지거나 오히려 점수가 올라가기도 합니다.

 

이런 현상이 생기는 이유는 수학 공부의 깊이의 차이에서 비롯된다고 저는 보고 있습니다.

 

1. 공식은 암기?

 

중등 시험지와 고등 시험지의 가장 큰 차이점은 중등은 공식을 외워서 그대로 적용하거나 유형별 문제집을 열심히 풀어서 유형 자체를 다 외우면 왠만해선 좋은 점수가 나옵니다. 그렇지만 고등부터는 이게 통하지 않는다는게 문제입니다.

 

중등때에 유형을 외우거나 공식만 외워서 문제를 푼 아이들이 고등가서 생전 처음 받아보는 점수를 보게 되는데, 그 이유에는 이런 속사정이 있기 때문이죠. 사실 수학 공부에서 가장 중요한 것은 공부 습관입니다.

 

어떤 공식이 있다면 그 공식이 왜 그렇게 유도되는지를 공부하지 않고 공식의 결과만 외운 아이들이 고등 수학에서 본격적으로 고전하기 시작하고, 급하게 학원이나 과외를 찾아다니게 됩니다. 그렇지만 중등까지 해온 공부 습관이 있기 때문에 선생님이 아무리 공식의 유도과정을 증명하고 설명해줘도 학생의 눈은 이미 결과를 쳐다보고 있게되죠. 그러니까 아무리 문제를 많이 풀어도 성적이 잘 오르지 않고, 좌절하면서 자신감을 잃게됩니다.

 

수학에서 가장 중요한 공부습관은 왜 그렇게 되는가, 그렇다면 그게 옳은가하고 따져보는 습관입니다.

 

2. 난 머리가 좋아서 안써도 된다.

중등 시험은 사실 쉬워서 몇줄 끄적이면 나오는 문제들이 대부분입니다. 이런 이유로 식을 꼼꼼하게 쓰지 않으면서 공부하는 학생들이 있는데, 이런 학생들의 특징이 쉬운 문제도 실수로 틀리는 경우가 많고, 좋은 실력을 갖추고 있음에도 왠만해선 100점이 나오지를 않습니다. 그래도 학생은 스스로에 대한 자부심이 있는데, 이게 고등가서 무너집니다.

 

고등부터는 식을 잘 정리해서 쓰는 습관이 성적에 미치는 영향이 상당히 크며, 수리 논술을 할때에도 증명 과정을 잘 써서 유도해야 하는데, 평소에 해보지를 않았으니 힘이 드는거죠. 꼼꼼히 써서 풀다가 보면 답이 틀리는 경우도 있지만, 이런 학생들의 대부분은 성적이 꾸준히 오르는 경우가 많습니다. 반대로 머리만 믿고 쓰는 것을 싫어하는 학생들은 고등가서 급격하게 무너지고, 자존감이 훼손되기 시작하면서 수학에서 멀어지게 되죠.

 

3. 안풀리면 별표친다.

문제를 풀다가 안풀리면 몇일이고 붙잡고 고민해야 합니다. 그런데 아이들은 대부분 길어야 10분, 고민해보고 안되면 그냥 포기합니다. 선생님에게 물어보거나 그냥 답지를 보죠. 고등 수학은 사고력을 측정하는 시험이기 때문에 평소에 깊게, 그리고 오래 생각하는 습관이 굉장히 중요합니다. 수학의 여러가지 이상적인 덕목들 중에서도 깊게 오래 생각하는 습관, 사실 이게 제일 중요한데, 이걸 실천하는 아이들은 극히 드뭅니다. 이 습관이 있는 아이들이 결국 수능 1등급을 찍는 경우가 많습니다.

 

그런데 이 습관을 학원이나 부모님들이 빼앗아 가는 경우가 많습니다. 아이가 생각하고 있으면 빨리 해라~ 잔소리를 해대니 아이가 생각할 환경이 조성되지 않고, 학원은 숙제를 주어진 기한까지 해가야하기 때문에 허겁지겁 대충하고 가게 되는거죠.

 

아이의 생각이 자라도록 중등때부터 기다려주는 것이 가장 중요합니다.

 

4. 난 선행 했으니 괜찮아~

선행은 말 그대로 미리 보았다지, 선행했으니 잘한다는 것을 담보하지는 못합니다. 선행하면 조금이랃 유리하겠지~ 라고 생각하지만, 오히려 독이 되는 경우도 많습니다. 선행을 하고 안하고는 아이에 따라서 모두 다르기 때문입니다. 그럼 어떤 아이는 선행을 해도 되고, 어떤 아이는 안되는 판단 기준은 배운 학년의 고등 쎈C단계를  적어도 70%이상의 정답률을 기록할 수 있을 정도가 되어야 합니다. 이 기준을 충족한다면 그 학생은 다음단계의 선행을 해도 무방하나, 저라면 선행보다 실력정석, 블랙라벨, 일등급 수학같은 심화 문제집을 풀릴 것 같습니다.

 

선행은 절대로 수학 성적을 담보하지 못합니다. 심화를 꼭 하는 습관을 들이는 것이 훨씬 중요합니다.


마이 페이지 > 스크랩북에서 확인하실 수 있습니다. 소중한 글에 감사 댓글 남겨주세요.

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재재파더 2016-08-03 10:17 
좋은글 감사합니다.
ssam 2016-07-13 09:57 

위에 쓰신 전형적인 고1 입니다. 

중딩때 90점 넘은 아이가 고딩들어와 50점대를 전전하고 있는...

심지어 선행의미가 없다며 한학기 선행특강을 듣지 않았고 

학원도 1학기 중간쯤 그만둔 고딩입니다. 머리가 크니 엄마말도 먹히지 않아 일찌감치 너가 알아서 하라고 좋은말로 '자유롭게, 공부한아이지요. 

학원샘은 수학머리가 있는데 노력을 안한다고...어찌보면 공부자질? 이 있는거 같기도 하고 아닌거 같기도하고...아예 아닌것 같으면 일찌감치 포기하겠는데 그건 아닌것 같고... 미움받을 용기에선 과제분리를 시키라는데 이게 자식일에 대해서 잘 안되네요. 하~ 


여기까지는 신세 한탄이구요ㅋ, 여름방학때 고1 수학복습을 개념서로 시켜야할까요? 아이는 별 필요가 없을것 같다고 (헐~ 지금 지가 그말할 입장이냐고요!!) 샘의 명쾌한 조언 부탁드립니다. 


어제 고1학기기말 성적보고 멘붕인 엄마입니다. 뭐 다른 성적도 가관입니다만....알아서 하겠지 알아서 하겠지 계속 기다려야 하나요? 

glorymom 2016-07-05 11:48 
항상 난감하기만 한 수학 공부에 도움을 주셔서 감사합니다~
민2사랑 2016-05-01 13:42 
선행에 대한 저의 의견은 아이가 잘 따라와 준다면 해도 된다고 저는 생각 합니다...
저의 아이가 그런 경우이고요.
그리고 말씀처럼 심화는 꼭 해야 합니다.
안 그럼 구멍이 생기거든요.
레몬레이드 2016-04-20 09:04 
생각정리가 되네요. 모두들 고민이 비슷한것 같습니다.^^
더 자주 글 좀 남겨주세요♡♡
예쁜앤 2016-03-18 09:54 

6학년 여자아이입니다. 방학동안 6학년 1학기를 예습했고, 원의 넓이 부분을 많이 힘들어해서, 그거 붙잡고 직육면체 넓이 단원으로 넘어가지 못했어요. 원래 계획은 1학기를 마치고 주말에 2학기를 시작할까 했는데, 고민이 됩니다.

주변에서는 중학교 단계로 넘어간 아이가 많고 6학년 공부하는 아이들은 많지 않고..

우리 애만 봤을때, 1학기 1단원부터 차근히 응용단계만이라도 제대로 하는게 맞는거 같아요.

근데, 6학년때 중등을 안들어가면 큰일나는 분위기를 저나 아이가 느껴서 많이 불안하다는 겁니다.

매일 꾸준히 한시간 이상은 기본 문제를 풀고 응용 심화문제를 하루에 4문제정도 풀려고 노력하는데,

이 문제들은 혼자 풀지 못하고, 답지를 보거나 아빠가 풀어줘야 합니다.

본인이 혼자 생각하는 습관이 전혀 없어서,, 깊게 오래 생각한다는 것은 생각도 못하는 지경이에요.

차근차근 1단원 개념부터 다시 시작해야겠다는 마음으로 기운상태에서 이 글을 보니까,,

꼭 그래야겠다는 다짐이 생기네요.

공부시간을 조금더 늘려야할까.. 고민중이에요. 6학년이 되니까, 시간이 많이 부족해요.

학원을 안다니는데도. 학교 숙제에 영어공부 .. 하루 2시간 수학에 집중할 시간이 안나네요.

지금은 영어에 조금더 치중하고 있어요. 본인이 영어 공부하는 것은 좋아하니까요.

수학에 대한 고민이 깊어질 수록 거부감이 더 커질까봐 걱정입니다.

 

리치 흐름 2016-03-18 16:55:09
1학기까지는 초6을 잘 다지시고, 여름방학부터 중등을 시작해보시면 어떨가 싶네요. 수학은 결코 단기간에 성과를 낼 수 없습니다. 아이가 어려워하면 쉬운 문제집부터 차분히 진행해보세요. 중등 개념원리는 꽤 난이도가 있습니다. 우공비로 시작해보시면 어떨가 싶네요.
예쁜앤 2016-03-18 18:36:23
1학기동안 1학기를 풀고 방학때는 2학기를 예습해야하는데, 2학기 예습과 중등 예습을 같이해도 되는건가요?
방학때 중등을 들어가려면 1학기때 2학기까지 모두 마쳐야하는 거라서 부담이 될거 같아서요.
리치 흐름 2016-03-19 10:07:29
사실 초6의 내용은 비와 비율을 빼고는 할게 없어요. 학교 시험에 너무 연연하지 마시고 중1 선행 그냥 하세요. 초6 아예 안하고 중등 선행하는 경우도 많은데요, 그 이유가

1. 초6 내용은 모두 중1에 포함되어 있다.
2. 원주율 3.14나 5자리 소수의 계산등 불필요한 부분이 너무 많다.
3. 수학적 체계가 잡혀져 있는 내용이 아니라서 중1과정의 잘 잡힌 체계와는 차이가 난다.

저라면 여름에는 중1-1 시작하고 여러번 반복하겠습니다. 초등학교 것을 공부하겠다면 차라리 초5-1과정을 다시 공부시키시는게 중등 공부에는 훨씬 도움될겁니다.
브죵 2016-03-16 20:39 

리치흐름님..

글을 이제서야 봤네요. 잊지 않고 게시판에 나와주셔서 감사해요. 겨울방학 동안 인강보면서 개념쎈과 쎈 b 스텝까지 수1  한번 예습했고 지금 다시 반복하고 있어요.

아직 응용문제나 교육청기출 등은 어려워합니다만..

꾸준히하면 분명 조금씩 나아지리라 생각합니다.


안 풀리는 문제가 오래 생각한다고 풀릴까....

잘 모르겠습니다. 좀 더 실력을 쌓아야 풀리지 않을까.. 싶은데...이 부분이 참 어렵습니다.


일전에 말씀하신대로 중3과정과 수1 과정이 많이 겹쳐서 3-1 공부는 좀 수월하네요. 

리치 흐름 2016-03-17 20:27:28
브죵님 오랫만이에요. 반갑습니다. 고민하시는 부분에 대한 답변을 드려보자면~
안풀리는 문제가 오래 생각한다고 풀릴가~라는 생각 자체가 수학 공부에 도움이 안될 것 같습니다.
못 풀더라도, 틀리더라도 고민을 오랫동안 하는 그 자체로 가치가 있는 것입니다.
수학 공부에서 오래 생각하고 문제 못풀면 시간 낭비라고 생각하는 아이들도 많은데, 사실은 고민을 했던 시간들 속에서 사고력이 자라고, 이해력이 증가하는 것이랍니다.

오래 생각하기 = 답 구하기가 아니라는 점에 주목해서 이해하시면 될 듯 하네요.
브죵 2016-03-18 00:16:20
어려운 문제의 경우 그 어려움이 아이가 생각할 수 있을 정도여야하는데..저희아이는 대부분 실마리도 얻지 못해 쳐다만 보다가 멍해져요..

제가 오히려 궁금증을 갖고 계속 생각하다가 방법을 찾기도 하거든요.
그 적당히 자극할만한 수준의 어려운 문제를 넣어주는 게 저희 아이에겐 쉽지 않아서 말입니다.

좋은 말씀 감사합니다. 모르는 문제를 깊이 생각해보는 것..정말 중요하다는 것 알거든요. 모의고사 문제들중 대다수가 그렇게 생소하더군요. 그런 문제들을 풀어나가려면 평소에도 생각하는 연습을 해야겠지요.
에스쁘와 2016-03-15 02:31 

핵심만 콕콕 집어주셨네요.~

많이 알고 있는데,,,실천이 쉽지 않은,,

우리아들도 노트에 쓰고 있는데요,,답만 달랑 있을때가 다반사라 ㅠㅠ

많이 고쳐가고 있는 중입니다.그래도 복잡한 문제들에서는 식이 나와주는데,,

원래는 자기가 쓴 식과정을 보고 오류를 찾아내려고 노트에 쓰고 있는데,,

원래 취지는 사라지고 ㅎㅎ 그래도 혼자 이어오고 있는 것에 의미를 두고 가고 있어요.

증명!!! 정말 중요한데,,실천이 잘 안되더라구요.

어려운 문제도 하루  한 두 문제 시간을 주고 해 보아야하는데.경시문제.

다시한번 중요함을 환기해주셔서 감사해요. 새겨서 꼭 실천 할께요

벨린 2016-03-09 09:11 
감사합니다~ 이제 중학교 입학했어요. 
리치흐름님의 글을 인쇄해서 아이에게 보여주려구요. 
앞으로의 글들도 너무 기대됩니다. ^^
리치 흐름 2016-03-11 00:36:46
감사합니다.
만사나 2016-03-08 08:52 

이번에 중1 올라간 아들이 있습니다.

초등내내 집에서 수학공부를 했고 중학 선행도 심화도 혼자서 하고 있어요.

리치흐름님의 중학교 수학에 관한 큰 그림이 참 많은 도움이 되었어요.

정말 감사한 마음 전합니다.

해당 단원마다 수학자 시리즈 중 단원들 찾아 꼭 두세번 읽고 진도 나가고 있어요.

공식은 꼭 제게 그리되는 이유를 설명할 수 있게 공부해서 오라고 합니다.

정의는 정확하게 이해하고 암기하라고 하니

처음에는 많이 힘들어했는데 지금은 어느정도 익숙해져 가고 있어요.

함수는 꼭 그래프 그리고 도형은 작도하고^^ 함수가 재밌다고 하네요

리치흐름님의 글을 읽고 이리 하고 있습니다. 정말 감사합니다.

시골에서 아는 것 없는 엄마지만 수학을 풀어줄 수는 없어도 준비 운동을 시켜줄 수 있다는

리치흐름님의 글이 제게 많은 용기와 힘을 주었습니다. 


기하쪽은 재미있는데 수만 나오면 쓰기 귀찮아서 암산하고 답만 적어두는 녀석입니다. ㅜ.ㅠ

성실하고 자기 욕심이 있는 아이인데도 남자아이라서 그런지...

중학교 1-1학기 대수를 하면서 고생을 많이 했습니다. 암산과 식 안 쓰는 것 고치느라...

아직  식없고 계산없는 게 간혹 나오긴 해서 갈 길이 멀었습니다.

적어주신 글 읽어보니 정신이 바짝 듭니다.

 아들에게 보여줄려고 프린트합니다.

식을 잘 쓰려하지 않고 암산으로 계산하다 틀리는 본인의 습관을 깨닫게 해줄려고 노력하고 있어요.


바쁜 일과 속에서 아들과 함께 수학을 하시고 고민하시고

이리 경험과 생각을 나눠주시는 리치흐름님의 열정을 응원하고 다시 한번 감사한 마음 전합니다.

늘 건강하시고 집안에 행복이 가득하길 바랍니다.


리치 흐름 2016-03-11 00:37:45
오래전에 올렸던 글들을 실제로 활용해서 아이가 공부를 했군요.
감사하다니요, 오히려 제가 감사하네요.
투엠 2016-03-07 21:00 

감히.초등엄마가 질문을 드려도될지...^^ 5학년되면서 수학공부를 시작했습니다..그전엔 학교수학과 연산정도 ..주위에서도 심화를 해야한다해서 하고있는데 혼자하다보니 틀리는 문제를 어찌해결해야할지..궁금합니다..일단은 2번정도 다시.생각해보게하고 그 다음엔 제가 답지를 보고 힌트를 주고 있습니다..저도 잘 모르겠는 문제라..너무 아이를 힘들게 하고 있는건 아닌지..혼자공부하다 막히는 문제해결에 관해 조언을 부탁드려도 될까요..

리치 흐름 2016-03-07 21:25:34
혼자 한다면 당연히 답지 봐야겠죠. 그런데 답지를 보기까지의 과정이 중요합니다. 지금 잘하고 계신것 같구요. 답지를 보고도 이해가 안된다면 체크해두고 일단 넘어가는 것도 한 방법입니다. 모든 문제를 다 풀어야만 심화가 되는 것은 아니니까요.

초등 심화 문제집들의 특징이 과도한 선행의 개념을 사용하는 문제들도 있어서 이런 문제들은 아마 답지봐도 이해 잘 안될겁니다. 중등이나 고등에 가야만 이해되는 개념들이 있기 때문이죠. 예를 들자면 부분분수라는 것이 있는데, 1/3*1/5=1/2(1/3-1/5) 뭐~ 이런겁니다. 제 기억이 맞다면 이 문제는 왕수학 점프 이상의 난이도에서 다루어지고 있을겁니다. 이 개념은 중등 심화에서도 나오는데 사실 제대로 된 증명까지 소개되는 것은 고1 수2 유리함수 단원에서 유리식으로 다룹니다.

이런 것은 못풀어도 됩니다. 넘 걱정 마시고, 답지를 보고도 이해가 안되는 것은 편안한 마음으로 넘기셔도 괜찮습니다. 아직 어리니까요.
투엠 2016-03-07 22:00:35
너무 감사합니다~애잡고 있는건 아닌가 걱정했는데 마음이 놓여요^^

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