두 수의 합과차가 주어졌을 때,두 수를 구하는 방법(2) 2009-05-18 23:46
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그럼 본 문제로 돌아가겠습니다.

앞의 문제들을 해결하는 방법엔 여러 가지가 있습니다.

 

첫 번째, 주어진 조건에 맞도록  두 수를  가르면서 찾는방법(주로 표로 그려 풀지요)

두 번째, 두수의 합만큼 적당히 둘이서 나눠가진후 주어진 조건의 차가 되도록 주고받는법

세 번째, 두 수의 차이만큼 큰수쪽에 먼저 떼어주고 그 나머지만큼 큰수와 작은수 둘이서 똑같이 나누는 방법

네 번째, 수직선을 이용하는 방법.

 

모든 문제는 네가지 방법으로 풀수 있습니다.

그런데 수직선을 이용하는 방법은 그림을 그릴수가 없어 생략합니다.

....................................................................................................................................

[1]  오이와 호박이 모두 14개 있습니다.

      오이가 호박보다 4개 더 많습니다.오이와 호박은 각각 몇개씩 있습니까?

 

[풀이]☞ 첫번째 방법

      엄마:먼저,이 문제를 읽어볼까?

             이 문제는 무엇을 구하는 문제니?

      아이:오이와 호박의 개수를 구하래요.

      엄마:이 문제에서 주어진 조건이 뭐지?

      아이:오이와 호박이 합해서 14개있고요,그 차이가 4개래요.

      엄마:그런데 여기서 누가 더 많지?

      아이:오이요.

      엄마:그럼,우선 두 수의 합이 14가 되도록 두 수를 가른다음 그 중에서 4차이가 나는 걸 골라볼까?

             오이가 호박보다 더 많다는거 잊지말고 표에 수를 써 넣어보렴.

             (처음엔 엄마가 다음과 같이 표를 그려주고 써 넣어보게 합니다)

 

                            오이 :      10      9        ........

                            호박 :       4      5        .........

                             차   :       6      4

 

    아이: 그럼,오이가 9개,호박이 5개가 되네요.

     엄마: 그래 잘했구나. 

.....................................................................................................................................

[2] 성희는 재활용 병과 캔을 모두 67개 모았습니다.

      병이 캔보다 15개 적습니다.병과 캔은 각각 몇개씩 있습니까?

 

[풀이]☞ 두번째 방법

엄마:먼저,이 문제를 읽어볼까?

       이 문제는 무엇을 구하는 문제니?

아이:병과 캔의 개수를 구하래요.

엄마:이 문제에서 주어진 조건이 뭐지?

아이:병과 캔이 합해서 67개있고요,그 차이가 15개래요.

엄마:그럼 우선,합해서 67이 되는 수는 뭐가 있을지 생각해볼까?

아이:30과 37이요.

엄마:지금 두 수의 차이가 몇개지?

아이:7개차이요.

엄마:근데 문제에서 몇개 차이가 나야한다고 했니?

아이:15개 차이요.

엄마:그럼,지금 7개 차이가 나는데 15개 차이가 나려면 몇개 차이가 나야할까?

아이:음.그러니까 지금보다 8개만 더 차이가 나면 되요.

엄마:그럼,지금보다 8개 차이가 더 생기려면 몇개를 줘야할까?

아이;음.4개주면 주는 쪽에서는 4개 부족하고 받는쪽에선 4개 늘어나니까 8개 차이가 생기게 되겠네요.

엄마:근데 4개를 누가 줘야 할까? 작은수가 줘야할까?큰수가 줘여할까?

아이:음...작은수요.

엄마:그럼,처음수가 30과 37이었으니까,작은수가 큰수에게 4개를 주면 몇이 될까?

아이:26과 41이요.

엄마:그러니까 이 문제의 답은 뭐니?

아이:음...병이 캔보다 적으니까...병은 26개,캔은 41이요.

엄마:그래 아주 잘했구나.

...............................................................................................................................

[3] □+△=56 ,  □-△=12 에서  □와 △가 나타내는 수는 각각 얼마입니까?

 

[풀이]☞ 세번째 방법

엄마:먼저,이 문제를 읽어볼까?

       이 문제는 무엇을 구하는 문제니?

아이:□와 △가 나타내는 수를 구하래요.

엄마:이 문제에서 주어진 조건이 뭐지?

아이:□와 △의 합이 56이고,차가 12이래요.

엄마:근데,여기서 누가 더 크대?

아이: □ - △=12 이니까  □가 더 크네요.

엄마:근데,얼만큼 더 크니?

아이:12만큼요.

엄마:그럼,우리 두수의 합인 56에서 □에게 먼저 12을 떼어 주자...............①

       그러면 이제 두 수의 합에서 얼마가 남지?

아이:56에서 12를 먼저 □에게 줬으니까 44가 남아요.

엄마:그럼,이제 남은 걸 어떻게 나눠가지면 두수의 차가 12이고,합이 56이 될까?

아이:음...□에게 먼저 12을 떼어줬으니까,이제 남은걸(44를) 똑같이 나눠가지면 되겠네요.

엄마:그럼,남은걸 똑같이 나누면 얼말까?

아이:44를 둘로 나누면 22요...............................................................②

엄마;그럼,결국 □와 △의 값은 얼마가 될까?

아이:□는 처음에 12를 갖고 나중에 22를 가졌으니까 □=12+22=34,

       △는 22만 가졌으니까  △=22네요.

엄마:그래 잘했구나.

       그러니까 엄마가 정리를 해보면 이렇단다.

 

        (1)                               □   △ → 합=56, 차=12, □  >△

                                 ①       12             0    남는거=56-12=44 , 44÷2=22

                                 ②       22            22

 

[4] 빨강,파랑,노랑색연필이 합하여 19자루 있습니다.

     빨강색연필은 노랑 색연필보다 3자루 더 많고

     파랑색연필은 빨강색연필보다 2자루 더 적습니다.노랑색연필은 몇자루 입니까?

 

[풀이]☞ 세번째 방법

①  빨강이 노랑보다 3자루 많으니까 먼저 빨강에게 3자루 떼어주고                                    

②  파랑이 빨강보다 2자루 적다고 하는데 ①에서 빨강이 3자루를 가졌으니까

     파랑에겐 1자루만 떼어주면 됩니다.

세종류의 개수의 합 19 중에서 ①,②에서 떼어주고난 나머지인 19-3-1=15 를 셋으로 똑같이 나누면 됩니다.

   

 

                                     빨강,     파랑,       노랑

                          

                                ①    3           0           0       ←  빨강이 노랑보다 3자루 많으니까

                                ②                 1                   ←  파랑이 빨강보다 2자루 적다고 하니까

                                ③    5           5           5       ← 19-3-1=15, 15÷3=5

                            ---------------------------------

                                       8            6          5

 

따라서,빨강=8자루,파랑=6자루,노랑=5자루입니다.

..........................................................................................................................................

[5] 연수가 강아지를 안고 무게를 재면 35kg이고 ................ⓐ

      지연이가 강아지를 안고 무게를 재면 31kg입니다.......... ⓑ

      연수와 지연이의 몸무게의 합이 58kg이라면 강아지의 무게는 몇 kg인가?

 

[풀이]

문제의 조건 ⓐ,ⓑ에서 연수와 지연이의 몸무게의 차이가 4kg인걸 알수 있습니다.

결국 두 수의 합=58, 차=4인 두 수를 구하는 문제와 같으니 한번 풀어봅시다.

엄마:00야 우선,합해서 58이 되는 두 수를 생각해볼까?

아이:34와 24요.

엄마:그럼 두 수의 차는 얼마지?

아이;10이요.

엄마:문제에서 두 수의 차이는 4가 되어야하는데 두 수의 차이를 늘여야 될까?줄여야 될까?

아이:두 수의 차이를 6만큼 줄여야 되요.

엄마:그럼,두 수의 차이를 줄이려면 큰수가 작은수에게 떼어줘야 할까?

       아니면 작은수가 큰수에게 떼어 줘야 할까?

아이:음.큰수가 작은수에게 떼어 줘야 해요.

엄마:그렇지.그럼 얼만큼 떼어 줘야 하지?

아이:6만큼 차이를 더 줄여야 하니까,3만큼 덜어주면 되요.

엄마:그렇구나.그럼 두 수는 얼마가 되지?

아이;31(=34-3)과 27(=24+3)이요.

       그러니까,연수=31kg,지연=27kg이 되겠고,강아지=4kg이 되겠네요.

엄마:아주 잘했구나.


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오데뜨 2010-11-23 10:39 
잘 담아갑니다.
주울 2009-05-20 01:01 

이거 3학년  요번에 나오는데요... 세자리수로 해서.. 

와  1학년떄부터 이런응용문제가 잇군요...나만 몰랐다봐요   

나는 애 2학년때 첨봤는데 그떄는  애 능력밖이라  아예 패쓰했지요

 

딸이 그냥 수학은  학교 들가서  개념부터 배우라고  신경을 안썻는데

머리는 보통정도고 수학개념이 제로였던경우라   2학년떄  곱셈구구에서  구구단을 첨 배웠는데  몇배라는말을  문제속에서는 이해를 못하데요.. 3학년 와서  곱셈식을 하고서야  모든응용문제에서 제대로 이용할정도로 이해를 했스요 그래서  위와같은문제는 이해를 못할거같아 패쑤

 

마리스텔라님이  엄마와 아이와 주고받는대화로 풀어나가는 풀이도  울애는 이해가 안될확률이 많음

첫번쨰 두번째야   지금이라도 이해하니 냅두고 세번째 방법에서  네모한테 12를먼저 주는생각하고  44를 둘로 나눠야하는생각  요걸 이해 못할거같음...  나도 이걸풀어 이해시킬라믄  더복잡헐거같아서 걍 패쑤 ..요래서 2학년떄까정 요 문제를 해본적이 없쓰요

 

3학년때  요번에 이런문제가 나오니  애가 모르겠다 하더라구요..

그래서  그동안  저랑 트레이닝한방법중에  그림으로  문제를 다시써봐라  그러면 풀이가 생각나고 그러면 답이 구해진다  햇더니  아래와 같이 풀엇어요..

잘하는 아이들한테야  식은죽먹기겠지만  울애처럼  수학적개념이 약한 아이한테는  그림설명이 쉬울듯해서 올려요.

 

 

예슬이와 한별이의 돈을 합하면 900원이고 얘슬이가 한별이보다 200원 더 많아요  두사람이 가진돈은 각각 얼마?

900-200 식은  2학년때  식만들기인가를 배운후  요러게 곧잘합니다만  요정도연산도  암산을 못해요...

700을 2로나누는거를  모르기땜세  저러게 풀어놨더라고요

그러고는 예슬이하고 한별이 답을 바꿔놨습니다..  모 금방  수정은 했지만서도...그래서  실수하지 말라고 증거로 이렇게 남겨놨지요..

답은  한별= 350   예슬이=550 이어요

 

주로 숫자보다 그림이 더 많지요?ㅋㅋ

이것이 옛날 옛적 내가 샤용했던  수학의  원리개념을  이미지화하는 방법입니다..겸사겸사해서 올려요..

겨우 최근에 아이수학몇번 지도한게 다라서 더 아는게 없쓰요  더 풀어놀야그도 없고요..

오늘 마리스텔라님도  놀자님 강의 들으셧다고요...

그라저나  조용하시고 우아하시던디 어뜨게  남자 새끼덜 가르치신다냐..엄청  궁금하네요..

 

암튼 중학교갈때까지 기둘릴래다가  못기다리고 일찍 트레이닝 시켜버렸쓰요( 고민좀 진허게 하다가 공부를 중요시 하는담임샘님 성향땀시)

 효과가 확실하긴한데..이후로 .중간고사포험 왠만한 수학시험은 거의 만점.. 워낙 담임샘님이  프린트해서 시험을 자주봐요...손못대던문제도  곧잘 풀고요....그럼 아이의 연산능력이 좋아졌느냐  전혀요  그럼 수학능력이 전체적으로 좋아 졌느야  요것도 별로 

오로지 좋아진것은  기본을 이해하고 응용하는능력이  좋아 졌음돠...더불어  특이한 사항은 연산능력은  3월달이나 지금이나 별반차이가 없는데  (여전히 반에서 젤느릴껄요 울집은 연산문제집을 안풀어요)... 특히 시험에선 실수를 안합니다  .

헌데 잘한짓인지 못한짓인지 ....

반복적으로 많은 문제를 풀어보고  풀이방법을 익히는것이 아닌지라  괜히 쉽게 가는길을 알려준거 같아서요..

그래서 당분간 문제 풀이는 자제하고   수학관련책 읽히려고요   안그래도 애가  수학에 아주 흥미를 보이네요...

놀자님이 4학년부터 어렵다고 하니  저도  놀자님이랑 마리스텔라님글 참고해서  어찌할지 생각좀 해봐야 겄어요..

 

.

 

 

 

 

마리스텔라 2009-05-20 09:52:28
아이가 700을 둘로 나누는걸 저렇게 스스로 생각해서 푸는 힘은
많은 문제를 풀지않더라도 주울님과 평상시 개념에 충실한 학습을 한 덕분인것 같습니다.
제 아이가 그렇습니다.
아이가 학습량이 적은편이라 문제푸는 양이 많은 편이 아니다보니
궁하면 궁한대로 자기만의 방법대로 풀어내기도하고
평상시 성격과 달리 시험때엔 겸손(?)한 자세로 한문제 한문제 조심스럽게
풀어서인지 실수가 없는편입니다.
주위에서 보더라도 학습지를 통해 연산연습을 오랫동안 많이 한 아이들 조차도
연산실수를 하는 아이들이 의외로 많습니다.
그런걸 보면 어느정도 연산의 연습이 필요하겠지만 넘치면 부족함만 못한거 같습니다.

그런데 아이를 가르치다보면 엄마가 익숙한 풀이방법으로 접근하게되는게 보통이지요.
특히 우리세대들이 익숙한 방정식으로 푸는 방법을 곳곳에 적용하게 됩니다.
위의 제니가 푼 방법도 문자대신 그림을 사용했을뿐 방정식의 잔재가 보입니다.
저도 처음엔 그랬지요.ㅎㅎㅎ
아이들의 사고를 확장시키기 위해서는 현재 아이나 엄마가 익숙한 방법이외의
다양한 방법을 시도해보시는게 필요합니다.그게 가능한 시기가 초등학교때 입니다.
그래야 수학의 직관력과 사고의 유연성이 생깁니다.
위의 풀이방법중[3]번도 엄마나 아이가 아직 익숙하지 않기에 처음엔 어려워할지도 모릅니다.
본 설명들어가기 이전에 우선 다음의 활동을 해보신후 다시 접근해보세요.
가급적 눈으로 계산하기 쉬운 숫자를 사용해서 몇번해보세요.
(예)
□가 처음 5개를 갖고,나중에 □와 △가 똑같이 10개씩 가졌다면
□와 △의 차는 얼마고 합이 얼마일까? 하면서 그 상황을 시각적으로 다음과 같이 보여주시면
그에 대한 알고리즘을 인식하게 됩니다.
.................................. □ △
................................. 5
................................. 10 10
...........................-----------------
생각보다 아이들이 신기해합니다.이런방법도 있네 하면서요.

아이가 문제풀이를 통해서 이미 자기 방법으로 해법이 익숙해진 이후에는
다양한 방법들을 잘 받아들이려 하지 않습니다.그러니 지금시기를 놓치지마세요.
그리고 낯선 문제라도 문제를 읽고 글로든 그림으로든 시각적으로 정리를 하면
문제의 실마리가 보이게 되는데 이리 정리하는 방법도 등식으로 정리하는 방법이외에
문제의 패턴에 따라 여러가지 방법이 있습니다. 그런 방법에 대해서도 생각해보시면 좋을듯합니다.
아침부터 엄마에게 너무 많은 짐을 지웠나요?ㅎㅎ
마리스텔라 2009-05-20 12:54:41
사실 이런 유형의 문제를 대부분의 아이들은 첫번째 방법으로 풉니다.
옆에서 누군가가 거들어 주었거나,아니면 책의 풀이법 통해서 익히는 경우가 아니면
이런 여러방법을 아이가 스스로 생각해내기는 어렵습니다.
오히려 제니처럼 식으로 잘 정리해서 푸는 경우는 드뭅니다.
아이의 풀이가 조금 복잡하더라도 논리적으로 문제가 없으면
인정해주고 칭찬해줘야 생각의 기쁨을 알게 됩니다.
요즘 서술형의 비율이 높아지다보니 자기의 해법을 다른사람이 보더라도 이해할 수 있도록
글로 표현하는 훈련도 조금씩 해두는게 필요합니다.

3학년이면 적기인거 같습니다.
학습량이 많지 않은 아이가 4학년부터 시작하려면 조금 여유가 없습니다.
지금부터 제학년거 기본적으로 학습을 하면서
하루에 적은양이라도 생각할수 있는 몇문제를 꾸준히 이런식으로 충분히 생각해두면 좋겠습니다.^^
주울 2009-05-20 13:05:50
아항 알겄슴돠,,..
내가 아는 딱 두명의 엄친아덜이 쉽게 식으로 풀기에 그게 좋은건줄알았어요.. 딸도 그러게 되길바라고 연습시켰더니..아차 싶어요. 애가 금방 내흉내를 내는건가봐요..
노가다 풀이도 괜찮은거거군요 근데 논리적으로는 허점이 워낙 많든데 이상허게 답은 맞아요.. 내 그래서 요거는 덜떨어진 풀이쥐 했지요
복잡해서 자주 안들여다 봤는디 틀린거 집어내고 설명해줄라믄 엄두가 안나더라고요...실은 한문제 가지고 애풀이방법에 관해 둘이 고민하다 하루가 간적이 많어요 문제도 못풀고.....그러다보면요 헛점이 많아서 그런지 그부분을 마리스텔라님처럼 보완해줘야 하는데 저는 역부족입니다 애들눈높이 설명이요..허허
말씀대로 생각할수있는문제를 지맘대로 실컷 풀어라 할꼐요..이래라 저래라 말아야쥐...
한번 들여다 보게 되니까 내식대로 자꾸 간섭하게 되네요...
그래서 울애가 문제 풀때 이런말하나봐요 맨날 " 나혼자 풀꺼야"" 하던데..
나보고 지를 가르치지 말라는 중요한뜻이 숨어있는말이군요...
암튼 저학년 수학접근은 조심해야뒤야 마리스텔라님덕분에 막연하던거를 제가 크게 깨닫고 가요..
내글로 도배가 되는게 쬠 민망해서 하나 쥐워요...^^
이상함.. 2009-05-19 10:14 

5번 문제... 제가 잘못 풀었나요??? 강아지가 -1kg이 나오는데요...??? ㅜㅜ

마리스텔라 2009-05-19 16:15:45
[5]번 문제에서 합이 58인데 68로 잘못입력했네요.수정했습니다.
잘못된 부분 찾아주셔서 고맙습니다.^^