쑥쑥몰
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간혹 아이들은 직관적으로
평면도형의 둘레의 길이와 그 넓이 사이의 관계에 대해 오개념을 나타내기도 합니다.
도형의 둘레의 길이는 도형의 경계(가장자리)의 길이의 합인 반면
넓이는 그 도형의 영역의 크기를 나타냅니다.
그러나 도형의 변의 길이는 도형의 둘레의 길이나 넓이에 관계되기 때문에
아이들은 넓이가 둘레의 길이와 서로 관련있다고 생각하는 오류를 범하기도 합니다.
가령,둘레의 길이가 커질수록 넓이가 커진다거나
넓이가 클수록 둘레의 길이가 크다고 생각하기도 합니다.
다음의 이야기를 통해 확인해 봅시다.
Beethoven
Sonata for Violin and Piano No. 5
in F major Op. 24 'Spring'
[1] 땅부자와 울타리 부자이야기
옛날 옛적에 땅부자와 울타리부자가 살았다.
땅부자는 엄청나게 많은 땅을 가지고 있었지만 울타리가 약간 필요했고
울타리부자는 엄청나게 많은 울타리를 가지고 있었지만 땅이 조금 필요했다.
둘은 서로 공평하게 땅과 울타리를 맞바꾸기로 합의하고 공평해씨에게 도움을 청했다.
공평해씨는 이렇게 말했다.
"우선 울타리부자가 울타리 100m를 가지고 땅부자의 땅 위에다 울타리를 치는 걸세(그림1).
그러면 그 울타리 안에 들어가는 모든 땅을 울타리 부자가 가지는 거야.
대신에 땅부자는 울타리 부자가 가진 땅과 똑같은 면적의 땅을 그리는 걸세(그림2).
그러면 그 둘레를 두를 수 있는 울타리를 울타리부자가 땅부자에게 주는 거야.
그러면 서로 공평하겠지?
두 사람은 그렇게 하기로 약속했다.
다음 날, 울타리부자는 정확하게 울타리 100m를 가지고 나타나
땅부자의 땅 위에다 울타리를 두르기 시작했다.
울타리부자는 처음에 길이 40m, 폭이 10m인 직사각형 모양의 울타리를 쳤다.
"40×10, 그러니까 400㎡의 땅 둘레에다 울타리를 쳤군." 공평해씨가 말했다.
"다시 한 번 해 볼게요."라며 울타리부자는 이번에는
길이 25m, 폭 25m인 정사각형 모양의 울타리를 쳤다. "25×25, 625㎡의 땅 둘레에다 울타리를 쳤군.
이럴수가! 울타리의 길이가 같은 데도, 그 속에 들어가는 넓이가 달리지다니." 땅부자가 중얼거렸다.
"한번만 더 해 볼께요." 울타리부자는 이번에는 완전한 원 모양으로 울타리를 쳤다.
"계산기가 필요하겠군. 음. 그러니까 그 원 안에 들어가는 넓이는 약 795㎡야. 쉽게 800㎡라고 하세."
공평해씨가 계산을 해 주었다.
"자. 이제는 땅부자의 차례로군.
800㎡에 해당하는 땅을 표시하면, 그 둘레를 두를 수 있는 울타리를 울타리부자가 줄 걸세."
공평해씨가 말했다.
땅부자는 길이와 폭이 각각 20m, 40m인 직사각형 모양의 땅 위에다 표시를 했다.
"20×40=800이니까, 넓이는 맞군.
20+20+40+40=120, 울타리 부자는 120m의 울타리를 땅부자에게 주면 되겠군." 공평해씨가 말했다.
"잠깐! 면적이 800㎡이기만 하면 모양은 어떻게 해도 상관이 없죠?"
땅부자는 이렇게 말하고, 땅 위에 새로운 모양을 그리기 시작했다. "자, 어때요?
10×80이니까 800㎡ 맞죠?"
"10+10+80+80, 아니! 울타리가 180m나 되잖아." 울타리부자가 중얼거렸다.
"잠깐! 한 번 더 해야 봐야겠어.
" 땅부자는 아주 멀리까지 갔다 오더니 폭이 아주 좁은 기다란 모양의 땅을 만들었다.
"1m×800m의 땅이로군, 이것 역시 면적이 800㎡야! 그런데 울타리가 1+1+800+800=1602m나 되."
공평해씨가 말하자 울타리부자가 울먹였다.
이 이야기는 넓이와 둘레에 관한 이야기입니다.
둘레 길이가 한정돼 있을 때, 그 안에 최대한의 면적을 집어넣으려면
울타리부자처럼 원 모양으로 만들면 됩니다.
반면에 넓이가 한정돼 있을 때는 땅부자처럼 둘레의 길이를 얼마든지 길게 할 수 있습니다.
처음부터 공평한 거래가 아니었습니다.
[2] 둘레가 같으면 넓이도 같다?
“기다란 빨대를 잘라서 직사각형을 만들었어요. 이 직사각형을 눕히면 넓이는 커질까. 작아질까, 아니면 똑같을까요?” 선생님이 질문하자 아이들이 손을 번쩍번쩍 들었다. “달라요!” “똑같아요!” 선생님은 동시에 대답한 호철이와 승규에게 왜 그렇게 생각하는지 그 이유를 설명해 보라고 하셨다. 호철이는 “다르게 생겼으니까요”라고 대답했고, 승규는 “둘레하고 넓이는 관련이 있습니다. 모양이 달라져도 길이는 변함이 없으니까 당연히 넓이도 똑같게 됩니다”라고 했다. 두 아이의 대답을 들은 선생님은 고개를 갸우뚱거렸다. “다른 의견 있는 사람?” 그러자 이번에는 민주와 형욱이가 동시에 손을 들었다. 민주는, “넓이는 똑같습니다. 왜냐하면 교과서에서 배울 때 평행사변형을 직사각형으로 바꾸면 된다고 배웠기 때문입니다”라고 했다. 선생님은 형욱이도 그렇게 생각하느냐고 물었다. 형욱이는 “직사각형을 눕히면 둘레는 변함이 없습니다. 밑변도 똑같습니다. 하지만 높이가 낮아집니다. 그러니까 넓이는 작아집니다”라고 답했다.
[3] 벌집의 모양이 정육각형인 이유 수학적으로는 둘레가 일정할 때 넓이가 최대인 도형은 원입니다. 그러나 원으로는 여러 개를 이어 붙여도 틈새가 생기기 때문에 평면을 덮을 수가 없습니다. 정다각형 중에서도 오직 정삼각형, 정사각형, 정육각형만이 평면을 덮을 수 있습니다. 그러나 정삼각형은 같은 크기의 공간을 만드는데 정육각형에 비해 재료가 많고, 정사각형은 정육각형에 비해 구조가 튼튼하지 못합니다. 따라서 최소의 재료로 가장 튼튼한 최적의 공간을 만들려면 정육각형이 가장 적합하다고 할 수 있습니다.
실제로,둘레가 같은 여러 가지 도형의 면적을 계산해 보면 그 모양이 원에 가까울 수록 면적이 커진다는 것을 알 수 있습니다. 공동생활을 하는 벌들은 같은 양의 재료를 사용하여 최대의 면적을 내기 위해 육각형의 집을 짓는 것입니다. 다음 그림에서 처럼 사이사이에 못쓰는 공간이 생기게 됩니다. 그러나 정육각형으로 지으면 빈틈 없이 지을 수 있어 가장 효과적으로 공간을 활용할 수 있습니다
만약, 둘레의 길이가 일정할때 넓이가 최대인 도형을 직사각형으로 제한한다면 어떤 경우에 최대가 될까요?
예를 들어,직사각형의 둘레의 길이가 40cm라면 그 직사각형의 넓이가 최대인 경우는 가로,세로의 길이가 얼마일 때 일까요? 실제로 둘레의 길이가 40cm인 다양한 직사각형의 모양을 그려보면서 그때의 넓이를 구해보면 가로,세로의 길이가 같을때 직사각형의 넓이가 최대인 걸 알 수 있습니다.
수학의 정리중에 다음과 같은 것이 있습니다. 이 정리의 증명은 초등과정이 넘으니 참고로 확인만 해보세요. 이 정리를 이용하면 위의 문제에서,가로와 세로의 길이가 같은 정사각형인 경우에 그 넓이가 최대인 걸 알수 있습니다.
"몇개의 양수의 합이 일정할 때,그들의 곱이 최대가 되는 것은 각각의 수가 같을때이다"
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오데뜨 
